Cálculo Ejemplos

$\frac{lim_{x \to 1} x^{x} - 1}{\ln (x)}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{x} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 2.1

Reescribe $x^{x}$ como $e^{\ln (x^{x})}$ .

$\frac{lim_{x \to 1} e^{\ln (x^{x})} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Paso 2.2

Expande $\ln (x^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\frac{lim_{x \to 1} e^{x \ln (x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \ln (x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Paso 3.3

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{e^{1 \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{e^{1 \cdot \ln (1)} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Simplifica $1 \cdot \ln (1)$ al mover $1$ dentro del algoritmo.

$\frac{e^{\ln (1^{1})} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Paso 5.1.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\frac{1^{1} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Paso 5.1.3

Evalúa el exponente.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Paso 5.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{\ln (x)}$

Paso 5.1.5

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{\ln (x)}$

Paso 5.2

Divide $0$ por $\ln (x)$ .

$0$