Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0.00001} {(\sin (x))}^{x}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(\sin (x))}^{x}$ como $e^{\ln ({(\sin (x))}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0.00001} e^{\ln ({(\sin (x))}^{x})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(\sin (x))}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 0.00001} e^{x \ln (\sin (x))}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 0.00001} x \ln (\sin (x))}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0.00001$ .

$e^{lim_{x \to 0.00001} x \cdot lim_{x \to 0.00001} \ln (\sin (x))}$

Paso 2.3

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{lim_{x \to 0.00001} x \cdot \ln (lim_{x \to 0.00001} \sin (x))}$

Paso 2.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$e^{lim_{x \to 0.00001} x \cdot \ln (\sin (lim_{x \to 0.00001} x))}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0.00001$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0.00001$ para $x$ .

$e^{0.00001 \cdot \ln (\sin (lim_{x \to 0.00001} x))}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0.00001$ para $x$ .

$e^{0.00001 \cdot \ln (\sin (0.00001))}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica $0.00001 \cdot \ln (\sin (0.00001))$ al mover $0.00001$ dentro del algoritmo.

$e^{\ln (\sin^{0.00001} (0.00001))}$

Paso 4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\sin^{0.00001} (0.00001)$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\sin^{0.00001} (0.00001)$

Forma decimal:

$0.99984440 \dots$