Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} {(1 - \cos (x))}^{x}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(1 - \cos (x))}^{x}$ como $e^{\ln ({(1 - \cos (x))}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 - \cos (x))}^{x})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(1 - \cos (x))}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{x \ln (1 - \cos (x))}$

Paso 2

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 0} x \ln (1 - \cos (x))}$

Paso 3

Reescribe $x \ln (1 - \cos (x))$ como $\frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}}$

Paso 4

Establece el límite como un límite izquierdo.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}}$

Paso 5

Evalúa el límite izquierdo.

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Paso 5.1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{-}} \ln (1 - \cos (x))}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.1.2

A medida que $x$ se acerca a $0$ desde el lado izquierdo, $\ln (1 - \cos (x))$ disminuye sin cota.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.1.3

Como el numerador es una constante y el denominador se acerca a $0$ cuando $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca al infinito negativo.

$e^{\frac{- \infty}{- \infty}}$

Paso 5.1.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$e^{\frac{- \infty}{- \infty}}$

Paso 5.1.2

Como $\frac{- \infty}{- \infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 5.1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1 - \cos (x)$ .

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Paso 5.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.1.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.1.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.1.3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.1.3.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.1.3.7

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.1.3.8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.1.3.9

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.1.3.10

Combina $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ y $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.1.3.11

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Paso 5.1.3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- x^{- 2}}}$

Paso 5.1.3.13

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 5.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 x^{2}}$

Paso 5.1.5

Combina $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ y $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} - \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}}$

Paso 5.1.6

Reordena los factores en $- \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} - \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

Paso 5.2

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

Paso 5.3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Paso 5.3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 5.3.1.2.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2} \cdot lim_{x \to 0^{-}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Paso 5.3.1.2.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0^{-}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Paso 5.3.1.2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{-}} x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Paso 5.3.1.2.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.3.1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{-}} x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Paso 5.3.1.2.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Paso 5.3.1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.3.1.2.5.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Paso 5.3.1.2.5.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Paso 5.3.1.2.5.3

Multiplica $0$ por $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Paso 5.3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 5.3.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 5.3.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - lim_{x \to 0^{-}} \cos (x)}}$

Paso 5.3.1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$e^{- \frac{0}{1 - lim_{x \to 0^{-}} \cos (x)}}$

Paso 5.3.1.3.1.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0^{-}} x)}}$

Paso 5.3.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (0)}}$

Paso 5.3.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.3.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.3.3.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$e^{- \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}}$

Paso 5.3.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{- \frac{0}{1 - 1}}$

Paso 5.3.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$e^{- \frac{0}{0}}$

Paso 5.3.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{- \frac{0}{0}}$

Paso 5.3.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{- \frac{0}{0}}$

Paso 5.3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{- \frac{0}{0}}$

Paso 5.3.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Paso 5.3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Paso 5.3.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Paso 5.3.3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Paso 5.3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Paso 5.3.3.5

Reordena los términos.

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Paso 5.3.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

Paso 5.3.3.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

Paso 5.3.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Paso 5.3.3.8.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Paso 5.3.3.8.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - - 1 \sin (x)}}$

Paso 5.3.3.8.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + 1 \sin (x)}}$

Paso 5.3.3.8.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \sin (x)}}$

Paso 5.3.3.9

Suma $0$ y $\sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}}$

Paso 5.4

Como $\frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}$ y $lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = 0$ , aplica el teorema de la compresión.

$e^{- 0}$

Paso 5.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e^{0}$

Paso 6

Establece el límite como un límite derecho.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}}$

Paso 7

Evalúa el límite derecho.

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Paso 7.1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 7.1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 7.1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (1 - \cos (x))}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Paso 7.1.1.2

A medida que $x$ se acerca a $0$ desde el lado derecho, $\ln (1 - \cos (x))$ disminuye sin cota.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Paso 7.1.1.3

Como el numerador es una constante y el denominador se acerca a $0$ cuando $x$ se acerca a $0$ desde la derecha, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca al infinito.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Paso 7.1.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Paso 7.1.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 7.1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 7.1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 7.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1 - \cos (x)$ .

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Paso 7.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 7.1.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 7.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 7.1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 7.1.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 7.1.3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 7.1.3.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 7.1.3.7

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 7.1.3.8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 7.1.3.9

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 7.1.3.10

Combina $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ y $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 7.1.3.11

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Paso 7.1.3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- x^{- 2}}}$

Paso 7.1.3.13

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 7.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 x^{2}}$

Paso 7.1.5

Combina $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ y $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}}$

Paso 7.1.6

Reordena los factores en $- \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

Paso 7.2

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

Paso 7.3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 7.3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 7.3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Paso 7.3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 7.3.1.2.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2} \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Paso 7.3.1.2.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Paso 7.3.1.2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Paso 7.3.1.2.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 7.3.1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Paso 7.3.1.2.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Paso 7.3.1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.3.1.2.5.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Paso 7.3.1.2.5.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Paso 7.3.1.2.5.3

Multiplica $0$ por $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Paso 7.3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 7.3.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 7.3.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

Paso 7.3.1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$e^{- \frac{0}{1 - lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

Paso 7.3.1.3.1.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Paso 7.3.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (0)}}$

Paso 7.3.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.3.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.3.3.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$e^{- \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}}$

Paso 7.3.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{- \frac{0}{1 - 1}}$

Paso 7.3.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$e^{- \frac{0}{0}}$

Paso 7.3.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{- \frac{0}{0}}$

Paso 7.3.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{- \frac{0}{0}}$

Paso 7.3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{- \frac{0}{0}}$

Paso 7.3.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Paso 7.3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 7.3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Paso 7.3.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Paso 7.3.3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Paso 7.3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Paso 7.3.3.5

Reordena los términos.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Paso 7.3.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

Paso 7.3.3.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

Paso 7.3.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Paso 7.3.3.8.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Paso 7.3.3.8.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - - 1 \sin (x)}}$

Paso 7.3.3.8.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + 1 \sin (x)}}$

Paso 7.3.3.8.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \sin (x)}}$

Paso 7.3.3.9

Suma $0$ y $\sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}}$

Paso 7.4

Como $\frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}$ y $lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = 0$ , aplica el teorema de la compresión.

$e^{- 0}$

Paso 7.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e^{0}$

Paso 8

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1$