Cálculo Ejemplos

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (x) + 1}{x \csc (x)}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (x) + lim_{x \to 0} 1}{x \csc (x)}$

Paso 2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (x) + 1}{x \csc (x)}$

Paso 3

Considera el límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} x \csc (x)$

Paso 4

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $x \csc (x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda.

$\begin{array}{c} x & x \csc (x) \\ - 0.1 & 1.00166861 \\ - 0.01 & 1.00001666 \\ - 0.001 & 1.00000016 \end{array}$

Paso 5

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $1$ . Por lo tanto, el límite de $x \csc (x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda es $1$ .

$1$

Paso 6

Considera el límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} x \csc (x)$

Paso 7

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $x \csc (x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha.

$\begin{array}{c} x & x \csc (x) \\ 0.1 & 1.00166861 \\ 0.01 & 1.00001666 \\ 0.001 & 1.00000016 \end{array}$

Paso 8

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $1$ . Por lo tanto, el límite de $x \csc (x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha es $1$ .

$\frac{1 + 1}{x \csc (x)}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{x \csc (x)}$

Paso 9.2

Separa las fracciones.

$\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{\csc (x)}$

Paso 9.3

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Paso 9.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{2}{x} (1 \sin (x))$

Paso 9.5

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{2}{x} \sin (x)$

Paso 9.6

Combina $\frac{2}{x}$ y $\sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{x}$