Cálculo Ejemplos

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cot (5 x)}{x \cot (4 x)}$

Paso 1

Considera el límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (3 x) \cot (5 x)$

Paso 2

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\sin (3 x) \cot (5 x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda.

$\begin{array}{c} x & \sin (3 x) \cot (5 x) \\ - 0.1 & 0.5409461 \\ - 0.01 & 0.59940999 \\ - 0.001 & 0.5999941 \\ - 0.0001 & 0.59999994 \end{array}$

Paso 3

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $0.6$ . Por lo tanto, el límite de $\sin (3 x) \cot (5 x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda es $0.6$ .

$0.6$

Paso 4

Considera el límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (3 x) \cot (5 x)$

Paso 5

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\sin (3 x) \cot (5 x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha.

$\begin{array}{c} x & \sin (3 x) \cot (5 x) \\ 0.1 & 0.5409461 \\ 0.01 & 0.59940999 \\ 0.001 & 0.5999941 \\ 0.0001 & 0.59999994 \end{array}$

Paso 6

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $0.6$ . Por lo tanto, el límite de $\sin (3 x) \cot (5 x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha es $0.6$ .

$\frac{0.6}{x \cot (4 x)}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Separa las fracciones.

$\frac{0.6}{x} \cdot \frac{1}{\cot (4 x)}$

Paso 7.2

Reescribe $\cot (4 x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{0.6}{x} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}}$

Paso 7.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}$ .

$\frac{0.6}{x} \cdot \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$

Paso 7.4

Convierte de $\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ a $\tan (4 x)$ .

$\frac{0.6}{x} \tan (4 x)$

Paso 7.5

Combina $\frac{0.6}{x}$ y $\tan (4 x)$ .

$\frac{0.6 \tan (4 x)}{x}$