Cálculo Ejemplos

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{x \sqrt{1 + x}} - \frac{1}{x}$

Paso 1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{x \sqrt{1 + x}} - \frac{1}{x}$

Paso 2

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Multiplica $\frac{1}{x \sqrt{1 + x}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$\frac{1}{x \sqrt{1 + x}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}} - \frac{1}{x}$

Paso 2.1.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{x \sqrt{1 + x}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}} - \frac{1}{x}$

Paso 2.1.2.2

Mueve $\sqrt{1 + x}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x (\sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x})} - \frac{1}{x}$

Paso 2.1.2.3

Eleva $\sqrt{1 + x}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x ({\sqrt{1 + x}}^{1} \sqrt{1 + x})} - \frac{1}{x}$

Paso 2.1.2.4

Eleva $\sqrt{1 + x}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x ({\sqrt{1 + x}}^{1} {\sqrt{1 + x}}^{1})} - \frac{1}{x}$

Paso 2.1.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x {\sqrt{1 + x}}^{1 + 1}} - \frac{1}{x}$

Paso 2.1.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x {\sqrt{1 + x}}^{2}} - \frac{1}{x}$

Paso 2.1.2.7

Reescribe ${\sqrt{1 + x}}^{2}$ como $1 + x$ .

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Paso 2.1.2.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x}$ como ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x {({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{1}{x}$

Paso 2.1.2.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x {(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{1}{x}$

Paso 2.1.2.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x {(1 + x)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{x}$

Paso 2.1.2.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.2.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x {(1 + x)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{x}$

Paso 2.1.2.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x {(1 + x)}^{1}} - \frac{1}{x}$

Paso 2.1.2.7.5

Simplifica.

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x (1 + x)} - \frac{1}{x}$

Paso 2.2

Para escribir $- \frac{1}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x (1 + x)} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1 + x}{1 + x}$

Paso 2.3

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x (1 + x)} - \frac{1 + x}{x (1 + x)}$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{1 + x} - (1 + x)}{x (1 + x)}$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x}$ como ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - (1 + x)}{x (1 + x)}$

Paso 2.5.2

Reescribe $1 + x$ como ${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - {({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x (1 + x)}$

Paso 2.5.3

Sea $u = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{u - u^{2}}{x (1 + x)}$

Paso 2.5.4

Factoriza $u$ de $u - u^{2}$ .

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Paso 2.5.4.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\frac{u^{1} - u^{2}}{x (1 + x)}$

Paso 2.5.4.2

Factoriza $u$ de $u^{1}$ .

$\frac{u \cdot 1 - u^{2}}{x (1 + x)}$

Paso 2.5.4.3

Factoriza $u$ de $- u^{2}$ .

$\frac{u \cdot 1 + u (- u)}{x (1 + x)}$

Paso 2.5.4.4

Factoriza $u$ de $u \cdot 1 + u (- u)$ .

$\frac{u (1 - u)}{x (1 + x)}$

Paso 2.5.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}{x (1 + x)}$

Paso 2.6

Mueve ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1 - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{x (1 + x) {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 2.7

Multiplica $1 + x$ por ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.7.1

Mueve ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{x ({(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} (1 + x))}$

Paso 2.7.2

Multiplica ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ por $1 + x$ .

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Paso 2.7.2.1

Eleva $1 + x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{x ({(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} {(1 + x)}^{1})}$

Paso 2.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{x {(1 + x)}^{- \frac{1}{2} + 1}}$

Paso 2.7.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1 - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{x {(1 + x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 2.7.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{x {(1 + x)}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}$

Paso 2.7.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{1 - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{x {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$