Cálculo Ejemplos

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + 2 x - 1}{9 x^{2} - 1}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Paso 2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to \frac{1}{3}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Paso 3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Paso 4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Paso 5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Paso 6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{1}{3}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{3}$ para $x$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{3}$ para $x$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Paso 7.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.1.2.1

Factoriza $3$ de $3^{2}$ .

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Paso 7.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Paso 7.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{1^{2}}{3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Paso 7.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Paso 7.1.4

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Paso 7.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

Paso 7.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{1 + 2}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

Paso 7.1.7

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\frac{3}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

Paso 7.1.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{3}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Paso 7.1.9

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{3}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Paso 7.1.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{3 - 1 \cdot 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Paso 7.1.11

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.11.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{\frac{3 - 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Paso 7.1.11.2

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{\frac{0}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Paso 7.1.12

Divide $0$ por $3$ .

$\frac{0}{9 x^{2} - 1}$

Paso 7.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{0}{{(3 x)}^{2} - 1}$

Paso 7.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{0}{{(3 x)}^{2} - 1^{2}}$

Paso 7.2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3 x$ y $b = 1$ .

$\frac{0}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Paso 7.3

Divide $0$ por $(3 x + 1) (3 x - 1)$ .

$0$