Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} x \tan (\frac{1}{x})$

Paso 1

Reescribe $x \tan (\frac{1}{x})$ como $\frac{\tan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\tan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \tan (\frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{\tan (lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 2.1.2.2

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 2.1.2.3

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 2.1.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\tan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.5.2

Combina $\sec^{2} (\frac{1}{x})$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.5.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.3.1

Reescribe $\sec (\frac{1}{x})$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{{(\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})})}^{2}}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.5.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.5.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (\frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x})} \cdot \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.5.5

Combinar.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\frac{1}{x}) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.5.6

Multiplica $1$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x}) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.5.7

Reordena los factores en $- \frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x}) x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.6

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}}{- x^{- 2}}$

Paso 2.3.8

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})} (- x^{2})$

Paso 2.5

Combina factores.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})} x^{2}$

Paso 2.5.2

Multiplica $\frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})} x^{2}$

Paso 2.5.3

Combina $\frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}$ y $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}$

Paso 2.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}$

Paso 2.6.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}$

Paso 2.7

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}$

Paso 2.8

Reescribe $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}$ como ${(\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})})}^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} {(\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})})}^{2}$

Paso 2.9

Convierte de $\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})}$ a $\sec (\frac{1}{x})$ .

$lim_{x \to \infty} \sec^{2} (\frac{1}{x})$

Paso 3

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (\frac{1}{x})$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

${(lim_{x \to \infty} \sec (\frac{1}{x}))}^{2}$

Paso 3.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\sec^{2} (lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})$

Paso 4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\sec^{2} (0)$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$1^{2}$

Paso 5.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1$