Cálculo Ejemplos

$\frac{lim_{h \to o} {(7 + h)}^{3} - 343}{h}$

Paso 1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $o$ .

$\frac{lim_{h \to o} {(7 + h)}^{3} - lim_{h \to o} 343}{h}$

Paso 1.2

Mueve el exponente $3$ de ${(7 + h)}^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{h \to o} 7 + h)}^{3} - lim_{h \to o} 343}{h}$

Paso 1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $o$ .

$\frac{{(lim_{h \to o} 7 + lim_{h \to o} h)}^{3} - lim_{h \to o} 343}{h}$

Paso 1.4

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $h$ se acerca a $o$ .

$\frac{{(7 + lim_{h \to o} h)}^{3} - lim_{h \to o} 343}{h}$

Paso 1.5

Evalúa el límite de $343$ que es constante cuando $h$ se acerca a $o$ .

$\frac{{(7 + lim_{h \to o} h)}^{3} - 1 \cdot 343}{h}$

Paso 2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $o$ para $h$ .

$\frac{{(7 + o)}^{3} - 1 \cdot 343}{h}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Reescribe $343$ como $7^{3}$ .

$\frac{{(7 + o)}^{3} - 7^{3}}{h}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 7 + o$ y $b = 7$ .

$\frac{(7 + o - 7) ({(7 + o)}^{2} + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Resta $7$ de $7$ .

$\frac{(o + 0) ({(7 + o)}^{2} + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Paso 3.3.2

Suma $o$ y $0$ .

$\frac{o ({(7 + o)}^{2} + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Paso 3.3.3

Reescribe ${(7 + o)}^{2}$ como $(7 + o) (7 + o)$ .

$\frac{o ((7 + o) (7 + o) + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Paso 3.3.4

Expande $(7 + o) (7 + o)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{o (7 (7 + o) + o (7 + o) + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Paso 3.3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{o (7 \cdot 7 + 7 o + o (7 + o) + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Paso 3.3.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{o (7 \cdot 7 + 7 o + o \cdot 7 + o \cdot o + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Paso 3.3.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.5.1.1

Multiplica $7$ por $7$ .

$\frac{o (49 + 7 o + o \cdot 7 + o \cdot o + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Paso 3.3.5.1.2

Mueve $7$ a la izquierda de $o$ .

$\frac{o (49 + 7 o + 7 \cdot o + o \cdot o + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Paso 3.3.5.1.3

Multiplica $o$ por $o$ .

$\frac{o (49 + 7 o + 7 o + o^{2} + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Paso 3.3.5.2

Suma $7 o$ y $7 o$ .

$\frac{o (49 + 14 o + o^{2} + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Paso 3.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{o (49 + 14 o + o^{2} + 7 \cdot 7 + o \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Paso 3.3.7

Multiplica $7$ por $7$ .

$\frac{o (49 + 14 o + o^{2} + 49 + o \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Paso 3.3.8

Mueve $7$ a la izquierda de $o$ .

$\frac{o (49 + 14 o + o^{2} + 49 + 7 \cdot o + 7^{2})}{h}$

Paso 3.3.9

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$\frac{o (49 + 14 o + o^{2} + 49 + 7 o + 49)}{h}$

Paso 3.3.10

Suma $49$ y $49$ .

$\frac{o (14 o + o^{2} + 98 + 7 o + 49)}{h}$

Paso 3.3.11

Suma $14 o$ y $7 o$ .

$\frac{o (21 o + o^{2} + 98 + 49)}{h}$

Paso 3.3.12

Suma $98$ y $49$ .

$\frac{o (21 o + o^{2} + 147)}{h}$

Paso 3.3.13

Reordena los términos.

$\frac{o (o^{2} + 21 o + 147)}{h}$