Cálculo Ejemplos

$\frac{lim_{n \to 8} 4^{n} - 2^{n}}{2 (4^{n}) - 2^{n}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 4^{n} - lim_{n \to 8} 2^{n}}{2 (4^{n}) - 2^{n}}$

Paso 2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{4^{lim_{n \to 8} n} - lim_{n \to 8} 2^{n}}{2 (4^{n}) - 2^{n}}$

Paso 3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{4^{lim_{n \to 8} n} - 2^{lim_{n \to 8} n}}{2 (4^{n}) - 2^{n}}$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $n$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$\frac{4^{8} - 2^{lim_{n \to 8} n}}{2 (4^{n}) - 2^{n}}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$\frac{4^{8} - 2^{8}}{2 (4^{n}) - 2^{n}}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $8$ .

$\frac{65536 - 2^{8}}{2 \cdot 4^{n} - 2^{n}}$

Paso 5.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $8$ .

$\frac{65536 - 1 \cdot 256}{2 \cdot 4^{n} - 2^{n}}$

Paso 5.1.3

Multiplica $- 1$ por $256$ .

$\frac{65536 - 256}{2 \cdot 4^{n} - 2^{n}}$

Paso 5.1.4

Resta $256$ de $65536$ .

$\frac{65280}{2 \cdot 4^{n} - 2^{n}}$

Paso 5.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1

Reescribe $4^{n}$ como ${(2^{2})}^{n}$ .

$\frac{65280}{2 \cdot {(2^{2})}^{n} - 2^{n}}$

Paso 5.2.2

Reescribe ${(2^{2})}^{n}$ como ${(2^{n})}^{2}$ .

$\frac{65280}{2 \cdot {(2^{n})}^{2} - 2^{n}}$

Paso 5.2.3

Factoriza $u$ de $2 u^{2} - u$ .

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $u$ de $2 u^{2}$ .

$\frac{65280}{u (2 u) - u}$

Paso 5.2.3.2

Factoriza $u$ de $- u$ .

$\frac{65280}{u (2 u) + u \cdot - 1}$

Paso 5.2.3.3

Factoriza $u$ de $u (2 u) + u \cdot - 1$ .

$\frac{65280}{u (2 u - 1)}$

Paso 5.2.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2^{n}$ .

$\frac{65280}{2^{n} (2 \cdot 2^{n} - 1)}$

Paso 5.2.5

Multiplica $2$ por $2^{n}$ .

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Paso 5.2.5.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{65280}{2^{n} (2^{1} \cdot 2^{n} - 1)}$

Paso 5.2.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{65280}{2^{n} (2^{1 + n} - 1)}$