Cálculo Ejemplos

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x \sin (x) - π}{x - (\frac{π}{2})}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}{x - (\frac{π}{2})}$

Paso 2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}{x - (\frac{π}{2})}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}{x - (\frac{π}{2})}$

Paso 4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}{x - (\frac{π}{2})}$

Paso 5

Evalúa el límite de $π$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - π}{x - (\frac{π}{2})}$

Paso 6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$\frac{2 \frac{π}{2} \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - π}{x - (\frac{π}{2})}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$\frac{2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) - π}{x - (\frac{π}{2})}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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Paso 7.1.1

Multiplica $\frac{2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) - π}{x - \frac{π}{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) - π}{x - \frac{π}{2}}$

Paso 7.1.2

Combinar.

$\frac{2 (2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) - π)}{2 (x - \frac{π}{2})}$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})) + 2 (- π)}{2 x + 2 (- \frac{π}{2})}$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{2}$ al numerador.

$\frac{2 (2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})) + 2 (- π)}{2 x + 2 \frac{- π}{2}}$

Paso 7.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})) + 2 (- π)}{2 x + 2 \frac{- π}{2}}$

Paso 7.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})) + 2 (- π)}{2 x - π}$

Paso 7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 (- π)}{2 x - π}$

Paso 7.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (2) \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 (- π)}{2 x - π}$

Paso 7.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 (- π)}{2 x - π}$

Paso 7.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 π \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 (- π)}{2 x - π}$

Paso 7.4.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\frac{2 π \cdot 1 + 2 (- π)}{2 x - π}$

Paso 7.4.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 π + 2 (- π)}{2 x - π}$

Paso 7.4.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 π - 2 π}{2 x - π}$

Paso 7.4.6

Resta $2 π$ de $2 π$ .

$\frac{0}{2 x - π}$

Paso 7.5

Divide $0$ por $2 x - π$ .

$0$