Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{π}{2}} {(1 + \sec (3 x))}^{\cot (3 x)}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(1 + \sec (3 x))}^{\cot (3 x)}$ como $e^{\ln ({(1 + \sec (3 x))}^{\cot (3 x)})}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\ln ({(1 + \sec (3 x))}^{\cot (3 x)})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(1 + \sec (3 x))}^{\cot (3 x)})$ ; para ello, mueve $\cot (3 x)$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\cot (3 x) \ln (1 + \sec (3 x))}$

Paso 2

Establece el límite como un límite izquierdo.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} e^{\cot (3 x) \ln (1 + \sec (3 x))}$

Paso 3

Evalúa los límites al insertar el valor para la variable.

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $e^{\cot (3 x) \ln (1 + \sec (3 x))}$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$e^{\cot (3 \frac{π}{2}) \ln (1 + \sec (3 \frac{π}{2}))}$

Paso 3.2

Reescribe $\sec (3 \frac{π}{2})$ en términos de senos y cosenos.

$e^{\cot (3 \frac{π}{2}) \ln (1 + \frac{1}{\cos (3 \frac{π}{2})})}$

Paso 3.3

Combina $3$ y $\frac{π}{2}$ .

$e^{\cot (3 \frac{π}{2}) \ln (1 + \frac{1}{\cos (\frac{3 π}{2})})}$

Paso 3.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$e^{\cot (3 \frac{π}{2}) \ln (1 + \frac{1}{\cos (\frac{π}{2})})}$

Paso 3.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$e^{\cot (3 \frac{π}{2}) \ln (1 + \frac{1}{0})}$

Paso 3.6

Como $e^{\cot (3 \frac{π}{2}) \ln (1 + \frac{1}{0})}$ es indefinida, el límite no existe.

$No existe$

Paso 4

Establece el límite como un límite derecho.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} e^{\cot (3 x) \ln (1 + \sec (3 x))}$

Paso 5

Evalúa el límite derecho.

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Paso 5.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \cot (3 x) \ln (1 + \sec (3 x))}$

Paso 5.2

Reescribe $\cot (3 x) \ln (1 + \sec (3 x))$ como $\frac{\ln (1 + \sec (3 x))}{\frac{1}{\cot (3 x)}}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\ln (1 + \sec (3 x))}{\frac{1}{\cot (3 x)}}}$

Paso 5.3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \ln (1 + \sec (3 x))}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1}{\cot (3 x)}}}$

Paso 5.3.1.2

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1}{\cot (3 x)}}}$

Paso 5.3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 5.3.1.3.1

Aplica las identidades trigonométricas.

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Paso 5.3.1.3.1.1

Reescribe $\cot (3 x)$ en términos de senos y cosenos.

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}}}$

Paso 5.3.1.3.1.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}}$

Paso 5.3.1.3.1.3

Convierte de $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ a $\tan (3 x)$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan (3 x)}}$

Paso 5.3.1.3.2

A medida que los valores de $x$ se acercan a $\frac{π}{2}$ desde la derecha, los valores de la función disminuyen sin cota.

$e^{\frac{\infty}{- \infty}}$

Paso 5.3.1.3.3

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$e^{\frac{\infty}{- \infty}}$

Paso 5.3.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$e^{\frac{\infty}{- \infty}}$

Paso 5.3.2

Como $\frac{\infty}{- \infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\ln (1 + \sec (3 x))}{\frac{1}{\cot (3 x)}} = lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \sec (3 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}$

Paso 5.3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \sec (3 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1 + \sec (3 x)$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $1 + \sec (3 x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 + \sec (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 + \sec (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 + \sec (3 x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} \frac{d}{d x} [1 + \sec (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \sec (3 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (3 x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} (0 + \frac{d}{d x} [\sec (3 x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 5.3.3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} \frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.6.2

La derivada de $\sec (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} \sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} \sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.7

Combina $\sec (3 x)$ y $\frac{1}{1 + \sec (3 x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)} \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.8

Combina $\tan (3 x)$ y $\frac{\sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.9

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.10

Combina $3$ y $\frac{\tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.12

Multiplica $\frac{3 \tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.13

Simplifica.

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Paso 5.3.3.13.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.13.1.1

Reescribe $\tan (3 x)$ en términos de senos y cosenos.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.13.1.2

Combina $3$ y $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.13.1.3

Reescribe $\sec (3 x)$ en términos de senos y cosenos.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)}}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.13.1.4

Multiplica $\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)}$ .

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Paso 5.3.3.13.1.4.1

Multiplica $\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ por $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos (3 x)}}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.13.1.4.2

Eleva $\cos (3 x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos (3 x)}}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.13.1.4.3

Eleva $\cos (3 x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos^{1} (3 x)}}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.13.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{{\cos (3 x)}^{1 + 1}}}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.13.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.13.2

Combina los términos.

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Paso 5.3.3.13.2.1

Reescribe $\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}}{1 + \sec (3 x)}$ como un producto.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x)} \cdot \frac{1}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.13.2.2

Multiplica $\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}$ por $\frac{1}{1 + \sec (3 x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.14

Reescribe $\cot (3 x)$ en términos de senos y cosenos.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}]}}$

Paso 5.3.3.15

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.16

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.17

Simplifica.

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Paso 5.3.3.17.1

Reescribe la expresión.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.17.2

Multiplica $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}]}}$

Paso 5.3.3.18

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \sin (3 x)$ y $g (x) = \cos (3 x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.19

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 5.3.3.19.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 x$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos (3 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.19.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos (3 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.19.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.20

Eleva $\cos (3 x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos^{1} (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.21

Eleva $\cos (3 x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos^{1} (3 x) \cos^{1} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.22

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{{\cos (3 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.23

Suma $1$ y $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.24

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.25

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos^{2} (3 x) \cdot 3 \cdot 1 - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.26

Multiplica $3$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos^{2} (3 x) \cdot 3 - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.27

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos^{2} (3 x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cdot \cos^{2} (3 x) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.28

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 5.3.3.28.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) - \sin (3 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.28.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) - \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.28.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) - \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.29

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + 1 \sin (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.30

Multiplica $\sin (3 x)$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.31

Eleva $\sin (3 x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin^{1} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.32

Eleva $\sin (3 x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin^{1} (3 x) \sin^{1} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.33

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + {\sin (3 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.34

Suma $1$ y $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.35

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.36

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin^{2} (3 x) \cdot 3 \cdot 1}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.37

Multiplica $3$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin^{2} (3 x) \cdot 3}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.38

Mueve $3$ a la izquierda de $\sin^{2} (3 x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + 3 \cdot \sin^{2} (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.39

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.39.1

Factoriza $3$ de $3 \cos^{2} (3 x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 (\cos^{2} (3 x)) + 3 \sin^{2} (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.39.2

Factoriza $3$ de $3 \sin^{2} (3 x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 (\cos^{2} (3 x)) + 3 (\sin^{2} (3 x))}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.39.3

Factoriza $3$ de $3 (\cos^{2} (3 x)) + 3 (\sin^{2} (3 x))$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 (\cos^{2} (3 x) + \sin^{2} (3 x))}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.39.4

Reorganiza los términos.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 (\sin^{2} (3 x) + \cos^{2} (3 x))}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.39.5

Aplica la identidad pitagórica.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cdot 1}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.3.39.6

Multiplica $3$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Paso 5.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))} \cdot \frac{\cos^{2} (3 x)}{3}}$

Paso 5.3.5

Multiplica $\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}$ por $\frac{\cos^{2} (3 x)}{3}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{3 \sin (3 x) \cos^{2} (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x)) \cdot 3}}$

Paso 5.3.6

Reduce.

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Paso 5.3.6.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.6.1.1

Cancela el factor común.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{3 \sin (3 x) \cos^{2} (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x)) \cdot 3}}$

Paso 5.3.6.1.2

Reescribe la expresión.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (3 x) \cos^{2} (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}$

Paso 5.3.6.2

Cancela el factor común de $\cos^{2} (3 x)$ .

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Paso 5.3.6.2.1

Cancela el factor común.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (3 x) \cos^{2} (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}$

Paso 5.3.6.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (3 x)}{1 + \sec (3 x)}}$

Paso 5.3.7

Reescribe $\sec (3 x)$ en términos de senos y cosenos.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (3 x)}{1 + \frac{1}{\cos (3 x)}}}$

Paso 5.3.8

Convierte de $\frac{1}{\cos (3 x)}$ a $\sec (3 x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (3 x)}{1 + \sec (3 x)}}$

Paso 5.4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{\sin (3 x)}{1 + \sec (3 x)}$ se acerca a $0$ .

$e^{0}$

Paso 5.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1$

Paso 6

Si ninguno de los límites unilaterales existe, el límite no existe.

$No existe$