Cálculo Ejemplos

$\frac{lim_{h \to 0} ({(x + h)}^{3}) - x^{3}}{h}$

Paso 1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} - lim_{h \to 0} x^{3}}{h}$

Paso 1.2

Mueve el exponente $3$ de ${(x + h)}^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{3} - lim_{h \to 0} x^{3}}{h}$

Paso 1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} x^{3}}{h}$

Paso 1.4

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} x^{3}}{h}$

Paso 1.5

Evalúa el límite de $x^{3}$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - x^{3}}{h}$

Paso 2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{{(x + 0)}^{3} - x^{3}}{h}$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x + 0$ y $b = x$ .

$\frac{(x + 0 - x) ({(x + 0)}^{2} + (x + 0) x + x^{2})}{h}$

Paso 3.1.2

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{(x - x) ({(x + 0)}^{2} + (x + 0) x + x^{2})}{h}$

Paso 3.1.2.2

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{0 ({(x + 0)}^{2} + (x + 0) x + x^{2})}{h}$

Paso 3.1.2.3

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{0 (x^{2} + (x + 0) x + x^{2})}{h}$

Paso 3.1.2.4

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{0 (x^{2} + x \cdot x + x^{2})}{h}$

Paso 3.1.2.5

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{0 (x^{2} + x^{2} + x^{2})}{h}$

Paso 3.1.2.6

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{0 (2 x^{2} + x^{2})}{h}$

Paso 3.1.2.7

Suma $2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{0 \cdot 3 x^{2}}{h}$

Paso 3.1.2.8

Combina exponentes.

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Paso 3.1.2.8.1

Multiplica $0$ por $3$ .

$\frac{0 x^{2}}{h}$

Paso 3.1.2.8.2

Multiplica $0$ por $x^{2}$ .

$\frac{0}{h}$

Paso 3.2

Divide $0$ por $h$ .

$0$