Cálculo Ejemplos

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{\sqrt{x + h + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Paso 1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{x + h + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Paso 2

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{x + h + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x + h + 1}}{\sqrt{x + h + 1}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{x + h + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + h + 1}}{\sqrt{x + h + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Paso 2.1.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{x + h + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x + h + 1}}{\sqrt{x + h + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{\sqrt{x + h + 1} \sqrt{x + h + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Paso 2.1.2.2

Eleva $\sqrt{x + h + 1}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{\sqrt{x + h + 1}}^{1} \sqrt{x + h + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Paso 2.1.2.3

Eleva $\sqrt{x + h + 1}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{\sqrt{x + h + 1}}^{1} {\sqrt{x + h + 1}}^{1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Paso 2.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{\sqrt{x + h + 1}}^{1 + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Paso 2.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{\sqrt{x + h + 1}}^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Paso 2.1.2.6

Reescribe ${\sqrt{x + h + 1}}^{2}$ como $x + h + 1$ .

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Paso 2.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + h + 1}$ como ${(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{({(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Paso 2.1.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Paso 2.1.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{(x + h + 1)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Paso 2.1.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{(x + h + 1)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Paso 2.1.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{(x + h + 1)}^{1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Paso 2.1.2.6.5

Simplifica.

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Paso 2.1.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - (\frac{1}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}})$

Paso 2.1.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.1.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}$

Paso 2.1.4.2

Eleva $\sqrt{x + 1}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1}}$

Paso 2.1.4.3

Eleva $\sqrt{x + 1}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1}}$

Paso 2.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}}$

Paso 2.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{2}}$

Paso 2.1.4.6

Reescribe ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ como $x + 1$ .

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Paso 2.1.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.1.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.1.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.1.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.1.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{1}}$

Paso 2.1.4.6.5

Simplifica.

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$

Paso 2.3

Para escribir $- \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}$

Paso 2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + h + 1) (x + 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1} (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$ por $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1} (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{\sqrt{x + 1} (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Paso 2.4.3

Reordena los factores de $(x + h + 1) (x + 1)$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1} (x + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{\sqrt{x + 1} (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{x + h + 1} (x + 1) - \sqrt{x + 1} (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{x + h + 1} x + \sqrt{x + h + 1} \cdot 1 - \sqrt{x + 1} (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Paso 2.6.2

Multiplica $\sqrt{x + h + 1}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1} x + \sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1} (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Paso 2.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{x + h + 1} x + \sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1} x - \sqrt{x + 1} h - \sqrt{x + 1} \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Paso 2.6.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1} x + \sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1} x - \sqrt{x + 1} h - \sqrt{x + 1}}{(x + 1) (x + h + 1)}$