Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to π} {\sin (x)}^{\csc (x)}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${\sin (x)}^{\csc (x)}$ como $e^{\ln ({\sin (x)}^{\csc (x)})}$ .

$lim_{x \to π} e^{\ln ({\sin (x)}^{\csc (x)})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({\sin (x)}^{\csc (x)})$ ; para ello, mueve $\csc (x)$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to π} e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$

Paso 2

Establece el límite como un límite izquierdo.

$lim_{x \to π^{-}} e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$

Paso 3

Como el exponente $\csc (x) \ln (\sin (x))$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$ se acerca a $0$ .

$0$

Paso 4

Establece el límite como un límite derecho.

$lim_{x \to π^{+}} e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$

Paso 5

Evalúa los límites al insertar el valor para la variable.

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$e^{\csc (π) \ln (\sin (π))}$

Paso 5.2

Reescribe $\csc (π)$ en términos de senos y cosenos.

$e^{\frac{1}{\sin (π)} \ln (\sin (π))}$

Paso 5.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$e^{\frac{1}{\sin (0)} \ln (\sin (π))}$

Paso 5.4

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$e^{\frac{1}{0} \ln (\sin (π))}$

Paso 5.5

Como $e^{\frac{1}{0} \ln (\sin (π))}$ es indefinida, el límite no existe.

$No existe$

Paso 6

Si ninguno de los límites unilaterales existe, el límite no existe.

$No existe$