Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to π} \frac{\ln (1 + \sin (x))}{x}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} \ln (1 + \sin (x))}{lim_{x \to π} x}$

Paso 2

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to π} 1 + \sin (x))}{lim_{x \to π} x}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $π$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to π} 1 + lim_{x \to π} \sin (x))}{lim_{x \to π} x}$

Paso 4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $π$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to π} \sin (x))}{lim_{x \to π} x}$

Paso 5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\ln (1 + \sin (lim_{x \to π} x))}{lim_{x \to π} x}$

Paso 6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $π$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$\frac{\ln (1 + \sin (π))}{lim_{x \to π} x}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$\frac{\ln (1 + \sin (π))}{π}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{\ln (1 + \sin (0))}{π}$

Paso 7.1.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{π}$

Paso 7.1.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\ln (1)}{π}$

Paso 7.1.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{π}$

Paso 7.2

Divide $0$ por $π$ .

$0$