Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to π} \frac{2 - 2 \cos (x - π)}{4 π - 4 x}$

Paso 1

Cancela el factor común de $2 - 2 \cos (x - π)$ y $4 π - 4 x$ .

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Paso 1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (1) - 2 \cos (x - π)}{4 π - 4 x}$

Paso 1.2

Factoriza $2$ de $- 2 \cos (x - π)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (1) + 2 (- \cos (x - π))}{4 π - 4 x}$

Paso 1.3

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (- \cos (x - π))$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (1 - \cos (x - π))}{4 π - 4 x}$

Paso 1.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.1

Factoriza $2$ de $4 π$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (1 - \cos (x - π))}{2 (2 π) - 4 x}$

Paso 1.4.2

Factoriza $2$ de $- 4 x$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (1 - \cos (x - π))}{2 (2 π) + 2 (- 2 x)}$

Paso 1.4.3

Factoriza $2$ de $2 (2 π) + 2 (- 2 x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (1 - \cos (x - π))}{2 (2 π - 2 x)}$

Paso 1.4.4

Cancela el factor común.

$lim_{x \to π} \frac{2 (1 - \cos (x - π))}{2 (2 π - 2 x)}$

Paso 1.4.5

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to π} \frac{1 - \cos (x - π)}{2 π - 2 x}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to π} 1 - \cos (x - π)}{lim_{x \to π} 2 π - 2 x}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} 1 - lim_{x \to π} \cos (x - π)}{lim_{x \to π} 2 π - 2 x}$

Paso 2.1.2.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $π$ .

$\frac{1 - lim_{x \to π} \cos (x - π)}{lim_{x \to π} 2 π - 2 x}$

Paso 2.1.2.1.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to π} x - π)}{lim_{x \to π} 2 π - 2 x}$

Paso 2.1.2.1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $π$ .

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to π} x - lim_{x \to π} π)}{lim_{x \to π} 2 π - 2 x}$

Paso 2.1.2.1.5

Evalúa el límite de $π$ que es constante cuando $x$ se acerca a $π$ .

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to π} x - π)}{lim_{x \to π} 2 π - 2 x}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$\frac{1 - \cos (π - π)}{lim_{x \to π} 2 π - 2 x}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Resta $π$ de $π$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to π} 2 π - 2 x}$

Paso 2.1.2.3.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to π} 2 π - 2 x}$

Paso 2.1.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to π} 2 π - 2 x}$

Paso 2.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} 2 π - 2 x}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} 2 π - lim_{x \to π} 2 x}$

Paso 2.1.3.1.2

Evalúa el límite de $2 π$ que es constante cuando $x$ se acerca a $π$ .

$\frac{0}{2 π - lim_{x \to π} 2 x}$

Paso 2.1.3.1.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{2 π - 2 lim_{x \to π} x}$

Paso 2.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$\frac{0}{2 π - 2 π}$

Paso 2.1.3.3

Resta $2 π$ de $2 π$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to π} \frac{1 - \cos (x - π)}{2 π - 2 x} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x - π)]}{\frac{d}{d x} [2 π - 2 x]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x - π)]}{\frac{d}{d x} [2 π - 2 x]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (x - π)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x - π)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x - π)]}{\frac{d}{d x} [2 π - 2 x]}$

Paso 2.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x - π)]}{\frac{d}{d x} [2 π - 2 x]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x - π)]$ .

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Paso 2.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x - π)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x - π)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x - π)]}{\frac{d}{d x} [2 π - 2 x]}$

Paso 2.3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x - π$ .

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Paso 2.3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - π$ .

$lim_{x \to π} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x - π])}{\frac{d}{d x} [2 π - 2 x]}$

Paso 2.3.4.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to π} \frac{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x - π])}{\frac{d}{d x} [2 π - 2 x]}$

Paso 2.3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - π$ .

$lim_{x \to π} \frac{0 - (- \sin (x - π) \frac{d}{d x} [x - π])}{\frac{d}{d x} [2 π - 2 x]}$

Paso 2.3.4.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - π$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$lim_{x \to π} \frac{0 - (- \sin (x - π) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]))}{\frac{d}{d x} [2 π - 2 x]}$

Paso 2.3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{0 - (- \sin (x - π) (1 + \frac{d}{d x} [- π]))}{\frac{d}{d x} [2 π - 2 x]}$

Paso 2.3.4.5

Como $- π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- π$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{0 - (- \sin (x - π) (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [2 π - 2 x]}$

Paso 2.3.4.6

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{0 - (- \sin (x - π) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [2 π - 2 x]}$

Paso 2.3.4.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{0 - - \sin (x - π)}{\frac{d}{d x} [2 π - 2 x]}$

Paso 2.3.4.8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{0 + 1 \sin (x - π)}{\frac{d}{d x} [2 π - 2 x]}$

Paso 2.3.4.9

Multiplica $\sin (x - π)$ por $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{0 + \sin (x - π)}{\frac{d}{d x} [2 π - 2 x]}$

Paso 2.3.5

Suma $0$ y $\sin (x - π)$ .

$lim_{x \to π} \frac{\sin (x - π)}{\frac{d}{d x} [2 π - 2 x]}$

Paso 2.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $2 π - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 π] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\sin (x - π)}{\frac{d}{d x} [2 π] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Paso 2.3.7

Como $2 π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 π$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{\sin (x - π)}{0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Paso 2.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 2.3.8.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\sin (x - π)}{0 - 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{\sin (x - π)}{0 - 2 \cdot 1}$

Paso 2.3.8.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{\sin (x - π)}{0 - 2}$

Paso 2.3.9

Resta $2$ de $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{\sin (x - π)}{- 2}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $\frac{1}{- 2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to π} \sin (x - π)$

Paso 3.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{- 2} \sin (lim_{x \to π} x - π)$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $π$ .

$\frac{1}{- 2} \sin (lim_{x \to π} x - lim_{x \to π} π)$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $π$ que es constante cuando $x$ se acerca a $π$ .

$\frac{1}{- 2} \sin (lim_{x \to π} x - π)$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$\frac{1}{- 2} \sin (π - π)$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} \sin (π - π)$

Paso 5.2

Resta $π$ de $π$ .

$- \frac{1}{2} \sin (0)$

Paso 5.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0$

Paso 5.4

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Paso 5.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 (\frac{1}{2})$

Paso 5.4.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$0$