Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to π} \frac{\tan^{2} (x)}{1 + \sec (x)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to π} \tan^{2} (x)}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Mueve el exponente $2$ de $\tan^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to π} \tan (x))}^{2}}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$\frac{\tan^{2} (π)}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la tangente es negativa en el segundo cuadrante.

$\frac{{(- \tan (0))}^{2}}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Paso 1.1.2.3.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{{(- 0)}^{2}}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Paso 1.1.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Paso 1.1.2.3.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} 1 + lim_{x \to π} \sec (x)}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $π$ .

$\frac{0}{1 + lim_{x \to π} \sec (x)}$

Paso 1.1.3.1.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\frac{0}{1 + \sec (lim_{x \to π} x)}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$\frac{0}{1 + \sec (π)}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la secante es negativa en el segundo cuadrante.

$\frac{0}{1 - \sec (0)}$

Paso 1.1.3.3.1.2

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to π} \frac{\tan^{2} (x)}{1 + \sec (x)} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \tan (x)$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Paso 1.3.3

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \tan (x) \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Paso 1.3.4

Reordena los factores de $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Paso 1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \sec (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Paso 1.3.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Paso 1.3.7

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{0 + \sec (x) \tan (x)}$

Paso 1.3.8

Suma $0$ y $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\sec (x) \tan (x)}$

Paso 1.4

Reduce.

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común de $\sec^{2} (x)$ y $\sec (x)$ .

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Paso 1.4.1.1

Factoriza $\sec (x)$ de $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{\sec (x) (2 \sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \tan (x)}$

Paso 1.4.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.1.2.1

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{\sec (x) (2 \sec (x) \tan (x))}{\sec (x) (\tan (x))}$

Paso 1.4.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to π} \frac{\sec (x) (2 \sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \tan (x)}$

Paso 1.4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec (x) \tan (x)}{\tan (x)}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $\tan (x)$ .

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Paso 1.4.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec (x) \tan (x)}{\tan (x)}$

Paso 1.4.2.2

Divide $2 \sec (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to π} 2 \sec (x)$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to π} \sec (x)$

Paso 2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$2 \sec (lim_{x \to π} x)$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$2 \sec (π)$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

$2 (- \sec (0))$

Paso 4.2

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1)$

Paso 4.3

Multiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 \cdot - 1$

Paso 4.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2$