Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to π} \frac{{(x - π)}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Paso 1

Convierte de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ a $\csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to π} {(x - π)}^{2} \csc^{2} (x)$

Paso 2

Reescribe ${(x - π)}^{2} \csc^{2} (x)$ como $\frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$ .

$lim_{x \to π} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

Paso 3

Establece el límite como un límite izquierdo.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

Paso 4

Evalúa el límite izquierdo.

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Paso 4.1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to π^{-}} {(x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Paso 4.1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 4.1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 4.1.1.2.1.1

Mueve el exponente $2$ de ${(x - π)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to π^{-}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Paso 4.1.1.2.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $π$ .

$\frac{{(lim_{x \to π^{-}} x - lim_{x \to π^{-}} π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Paso 4.1.1.2.1.3

Evalúa el límite de $π$ que es constante cuando $x$ se acerca a $π$ .

$\frac{{(lim_{x \to π^{-}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Paso 4.1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$\frac{{(π - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Paso 4.1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1.1.2.3.1

Resta $π$ de $π$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Paso 4.1.1.2.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Paso 4.1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 4.1.1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

Paso 4.1.1.3.2

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 4.1.1.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 4.1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 4.1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 4.1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 4.1.3.2

Reescribe ${(x - π)}^{2}$ como $(x - π) (x - π)$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [(x - π) (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 4.1.3.3

Expande $(x - π) (x - π)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x (x - π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 4.1.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 4.1.3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 4.1.3.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.3.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 4.1.3.4.1.2

Multiplica $- π (- π)$ .

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Paso 4.1.3.4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + 1 π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 4.1.3.4.1.2.2

Multiplica $π$ por $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 4.1.3.4.1.2.3

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 4.1.3.4.1.2.4

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π^{1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 4.1.3.4.1.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1 + 1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 4.1.3.4.1.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 4.1.3.4.2

Resta $π x$ de $x (- π)$ .

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Paso 4.1.3.4.2.1

Mueve $x$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - π x - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 4.1.3.4.2.2

Resta $π x$ de $- π x$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 4.1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 π x + π^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 4.1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 4.1.3.7

Como $- 2 π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 π x$ con respecto a $x$ es $- 2 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 4.1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 4.1.3.9

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 4.1.3.10

Como $π^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π + 0}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 4.1.3.11

Suma $2 x - 2 π$ y $0$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 4.1.3.12

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = \csc (x)$ .

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Paso 4.1.3.12.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\csc (x)$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Paso 4.1.3.12.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Paso 4.1.3.12.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\csc (x)$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Paso 4.1.3.13

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

Paso 4.1.3.14

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

Paso 4.1.3.15

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

Paso 4.1.3.16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

Paso 4.1.3.17

Resta $3$ de $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

Paso 4.1.3.18

Simplifica.

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Paso 4.1.3.18.1

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

Paso 4.1.3.18.2

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

Paso 4.1.3.18.3

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Paso 4.1.3.18.4

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 4.1.3.18.4.1

Factoriza $\sin (x)$ de $2 \sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Paso 4.1.3.18.4.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Paso 4.1.3.18.4.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Paso 4.1.3.18.5

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (2 x)}$

Paso 4.1.4

Factoriza $2$ de $2 x - 2 π$ .

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Paso 4.1.4.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 (x) - 2 π}{\sin (2 x)}$

Paso 4.1.4.2

Factoriza $2$ de $- 2 π$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 (x) + 2 (- π)}{\sin (2 x)}$

Paso 4.1.4.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (- π)$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 (x - π)}{\sin (2 x)}$

Paso 4.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{x - π}{\sin (2 x)}$

Paso 4.3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$2 \frac{lim_{x \to π^{-}} x - π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

Paso 4.3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 4.3.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 4.3.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $π$ .

$2 \frac{lim_{x \to π^{-}} x - lim_{x \to π^{-}} π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

Paso 4.3.1.2.1.2

Evalúa el límite de $π$ que es constante cuando $x$ se acerca a $π$ .

$2 \frac{lim_{x \to π^{-}} x - π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

Paso 4.3.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$2 \frac{π - π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

Paso 4.3.1.2.3

Resta $π$ de $π$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

Paso 4.3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 4.3.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 4.3.1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$2 \frac{0}{\sin (lim_{x \to π^{-}} 2 x)}$

Paso 4.3.1.3.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to π^{-}} x)}$

Paso 4.3.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$2 \frac{0}{\sin (2 π)}$

Paso 4.3.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.3.1.3.3.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$2 \frac{0}{\sin (0)}$

Paso 4.3.1.3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 4.3.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 4.3.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 4.3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 4.3.2

$lim_{x \to π^{-}} \frac{x - π}{\sin (2 x)} = lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 4.3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 4.3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - π$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 4.3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 4.3.3.4

Como $- π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- π$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 4.3.3.5

Suma $1$ y $0$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 4.3.3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 4.3.3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 4.3.3.6.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 4.3.3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 4.3.3.7

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

Paso 4.3.3.9

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Paso 4.3.3.10

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Paso 4.4

Evalúa el límite.

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Paso 4.4.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

Paso 4.4.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $π$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to π^{-}} 1}{lim_{x \to π^{-}} \cos (2 x)}$

Paso 4.4.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $π$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to π^{-}} \cos (2 x)}$

Paso 4.4.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (lim_{x \to π^{-}} 2 x)}$

Paso 4.4.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to π^{-}} x)}$

Paso 4.5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

Paso 4.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.6.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.6.1.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

Paso 4.6.1.2

Reescribe la expresión.

$1 \frac{1}{\cos (2 π)}$

Paso 4.6.2

Multiplica $\frac{1}{\cos (2 π)}$ por $1$ .

$\frac{1}{\cos (2 π)}$

Paso 4.6.3

Convierte de $\frac{1}{\cos (2 π)}$ a $\sec (2 π)$ .

$\sec (2 π)$

Paso 4.6.4

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\sec (0)$

Paso 4.6.5

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$1$

Paso 5

Establece el límite como un límite derecho.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

Paso 6

Evalúa el límite derecho.

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Paso 6.1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 6.1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to π^{+}} {(x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Paso 6.1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 6.1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 6.1.1.2.1.1

Mueve el exponente $2$ de ${(x - π)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to π^{+}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Paso 6.1.1.2.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $π$ .

$\frac{{(lim_{x \to π^{+}} x - lim_{x \to π^{+}} π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Paso 6.1.1.2.1.3

Evalúa el límite de $π$ que es constante cuando $x$ se acerca a $π$ .

$\frac{{(lim_{x \to π^{+}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Paso 6.1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$\frac{{(π - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Paso 6.1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1.2.3.1

Resta $π$ de $π$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Paso 6.1.1.2.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Paso 6.1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

Paso 6.1.1.3.2

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 6.1.1.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 6.1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 6.1.2

$lim_{x \to π^{+}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 6.1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 6.1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 6.1.3.2

Reescribe ${(x - π)}^{2}$ como $(x - π) (x - π)$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [(x - π) (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 6.1.3.3

Expande $(x - π) (x - π)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x (x - π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 6.1.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 6.1.3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 6.1.3.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1.3.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.3.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 6.1.3.4.1.2

Multiplica $- π (- π)$ .

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Paso 6.1.3.4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + 1 π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 6.1.3.4.1.2.2

Multiplica $π$ por $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 6.1.3.4.1.2.3

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 6.1.3.4.1.2.4

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π^{1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 6.1.3.4.1.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1 + 1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 6.1.3.4.1.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 6.1.3.4.2

Resta $π x$ de $x (- π)$ .

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Paso 6.1.3.4.2.1

Mueve $x$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - π x - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 6.1.3.4.2.2

Resta $π x$ de $- π x$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 6.1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 π x + π^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 6.1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 6.1.3.7

Como $- 2 π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 π x$ con respecto a $x$ es $- 2 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 6.1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 6.1.3.9

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 6.1.3.10

Como $π^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π + 0}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 6.1.3.11

Suma $2 x - 2 π$ y $0$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 6.1.3.12

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = \csc (x)$ .

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Paso 6.1.3.12.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\csc (x)$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Paso 6.1.3.12.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Paso 6.1.3.12.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\csc (x)$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Paso 6.1.3.13

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

Paso 6.1.3.14

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

Paso 6.1.3.15

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

Paso 6.1.3.16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

Paso 6.1.3.17

Resta $3$ de $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

Paso 6.1.3.18

Simplifica.

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Paso 6.1.3.18.1

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

Paso 6.1.3.18.2

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

Paso 6.1.3.18.3

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Paso 6.1.3.18.4

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 6.1.3.18.4.1

Factoriza $\sin (x)$ de $2 \sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Paso 6.1.3.18.4.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Paso 6.1.3.18.4.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Paso 6.1.3.18.5

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (2 x)}$

Paso 6.1.4

Factoriza $2$ de $2 x - 2 π$ .

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Paso 6.1.4.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 (x) - 2 π}{\sin (2 x)}$

Paso 6.1.4.2

Factoriza $2$ de $- 2 π$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 (x) + 2 (- π)}{\sin (2 x)}$

Paso 6.1.4.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (- π)$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 (x - π)}{\sin (2 x)}$

Paso 6.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{x - π}{\sin (2 x)}$

Paso 6.3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 6.3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 6.3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$2 \frac{lim_{x \to π^{+}} x - π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

Paso 6.3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 6.3.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 6.3.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $π$ .

$2 \frac{lim_{x \to π^{+}} x - lim_{x \to π^{+}} π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

Paso 6.3.1.2.1.2

Evalúa el límite de $π$ que es constante cuando $x$ se acerca a $π$ .

$2 \frac{lim_{x \to π^{+}} x - π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

Paso 6.3.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$2 \frac{π - π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

Paso 6.3.1.2.3

Resta $π$ de $π$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

Paso 6.3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 6.3.1.3.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$2 \frac{0}{\sin (lim_{x \to π^{+}} 2 x)}$

Paso 6.3.1.3.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to π^{+}} x)}$

Paso 6.3.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$2 \frac{0}{\sin (2 π)}$

Paso 6.3.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.3.1.3.3.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$2 \frac{0}{\sin (0)}$

Paso 6.3.1.3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 6.3.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 6.3.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 6.3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 6.3.2

$lim_{x \to π^{+}} \frac{x - π}{\sin (2 x)} = lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 6.3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 6.3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 6.3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - π$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 6.3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 6.3.3.4

Como $- π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- π$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 6.3.3.5

Suma $1$ y $0$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 6.3.3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 6.3.3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 6.3.3.6.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 6.3.3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 6.3.3.7

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

Paso 6.3.3.9

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Paso 6.3.3.10

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Paso 6.4

Evalúa el límite.

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Paso 6.4.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

Paso 6.4.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $π$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to π^{+}} 1}{lim_{x \to π^{+}} \cos (2 x)}$

Paso 6.4.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $π$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to π^{+}} \cos (2 x)}$

Paso 6.4.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (lim_{x \to π^{+}} 2 x)}$

Paso 6.4.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to π^{+}} x)}$

Paso 6.5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

Paso 6.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.6.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.6.1.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

Paso 6.6.1.2

Reescribe la expresión.

$1 \frac{1}{\cos (2 π)}$

Paso 6.6.2

Multiplica $\frac{1}{\cos (2 π)}$ por $1$ .

$\frac{1}{\cos (2 π)}$

Paso 6.6.3

Convierte de $\frac{1}{\cos (2 π)}$ a $\sec (2 π)$ .

$\sec (2 π)$

Paso 6.6.4

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\sec (0)$

Paso 6.6.5

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$1$

Paso 7

Como el límite izquierdo es igual al límite derecho, el límite es igual a $1$ .

$1$