Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to π} \frac{5 \cos (x) + 5}{{(x - π)}^{2}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to π} 5 \cos (x) + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} 5 \cos (x) + lim_{x \to π} 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to π} \cos (x) + lim_{x \to π} 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{5 \cos (lim_{x \to π} x) + lim_{x \to π} 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Paso 1.1.2.1.4

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $π$ .

$\frac{5 \cos (lim_{x \to π} x) + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$\frac{5 \cos (π) + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$\frac{5 (- \cos (0)) + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{5 (- 1 \cdot 1) + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Multiplica $5 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 1.1.2.3.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{5 \cdot - 1 + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.3.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{- 5 + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3.2

Suma $- 5$ y $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Mueve el exponente $2$ de ${(x - π)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x - π)}^{2}}$

Paso 1.1.3.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $π$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x - lim_{x \to π} π)}^{2}}$

Paso 1.1.3.1.3

Evalúa el límite de $π$ que es constante cuando $x$ se acerca a $π$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x - π)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$\frac{0}{{(π - π)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Resta $π$ de $π$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Paso 1.1.3.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to π} \frac{5 \cos (x) + 5}{{(x - π)}^{2}} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cos (x) + 5]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cos (x) + 5]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 \cos (x) + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

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Paso 1.3.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{5 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Paso 1.3.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{5 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Paso 1.3.3.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x) + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Paso 1.3.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x) + 0}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Paso 1.3.5

Suma $- 5 \sin (x)$ y $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Paso 1.3.6

Reescribe ${(x - π)}^{2}$ como $(x - π) (x - π)$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [(x - π) (x - π)]}$

Paso 1.3.7

Expande $(x - π) (x - π)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x (x - π) - π (x - π)]}$

Paso 1.3.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π (x - π)]}$

Paso 1.3.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π x - π (- π)]}$

Paso 1.3.8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.8.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x - π (- π)]}$

Paso 1.3.8.1.2

Multiplica $- π (- π)$ .

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Paso 1.3.8.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + 1 π π]}$

Paso 1.3.8.1.2.2

Multiplica $π$ por $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π π]}$

Paso 1.3.8.1.2.3

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π]}$

Paso 1.3.8.1.2.4

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π^{1}]}$

Paso 1.3.8.1.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1 + 1}]}$

Paso 1.3.8.1.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{2}]}$

Paso 1.3.8.2

Resta $π x$ de $x (- π)$ .

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Paso 1.3.8.2.1

Mueve $x$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π x - π x + π^{2}]}$

Paso 1.3.8.2.2

Resta $π x$ de $- π x$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 π x + π^{2}]}$

Paso 1.3.9

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 π x + π^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Paso 1.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Paso 1.3.11

Como $- 2 π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 π x$ con respecto a $x$ es $- 2 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{2 x - 2 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Paso 1.3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{2 x - 2 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Paso 1.3.13

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{2 x - 2 π + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Paso 1.3.14

Como $π^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{2 x - 2 π + 0}$

Paso 1.3.15

Suma $2 x - 2 π$ y $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{2 x - 2 π}$

Paso 2

Mueve el término $- 5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\sin (x)}{2 x - 2 π}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$- 5 \frac{lim_{x \to π} \sin (x)}{lim_{x \to π} 2 x - 2 π}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$- 5 \frac{\sin (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} 2 x - 2 π}$

Paso 3.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$- 5 \frac{\sin (π)}{lim_{x \to π} 2 x - 2 π}$

Paso 3.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.2.3.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- 5 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to π} 2 x - 2 π}$

Paso 3.1.2.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- 5 \frac{0}{lim_{x \to π} 2 x - 2 π}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $π$ .

$- 5 \frac{0}{lim_{x \to π} 2 x - lim_{x \to π} 2 π}$

Paso 3.1.3.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 5 \frac{0}{2 lim_{x \to π} x - lim_{x \to π} 2 π}$

Paso 3.1.3.1.3

Evalúa el límite de $2 π$ que es constante cuando $x$ se acerca a $π$ .

$- 5 \frac{0}{2 lim_{x \to π} x - 2 π}$

Paso 3.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$- 5 \frac{0}{2 π - 2 π}$

Paso 3.1.3.3

Resta $2 π$ de $2 π$ .

$- 5 (\frac{0}{0})$

Paso 3.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- 5 (\frac{0}{0})$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- 5 (\frac{0}{0})$

Paso 3.2

$lim_{x \to π} \frac{\sin (x)}{2 x - 2 π} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 2 π]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 2 π]}$

Paso 3.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [2 x - 2 π]}$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 2 π$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]}$

Paso 3.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 3.3.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]}$

Paso 3.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 π]}$

Paso 3.3.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{2 + \frac{d}{d x} [- 2 π]}$

Paso 3.3.5

Como $- 2 π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 π$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{2 + 0}$

Paso 3.3.6

Suma $2$ y $0$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{2}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to π} \cos (x)$

Paso 4.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$- 5 (\frac{1}{2}) \cos (lim_{x \to π} x)$

Paso 5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$- 5 (\frac{1}{2}) \cos (π)$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Combina $- 5$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2} \cos (π)$

Paso 6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{2} \cos (π)$

Paso 6.3

$- \frac{5}{2} (- \cos (0))$

Paso 6.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- \frac{5}{2} (- 1 \cdot 1)$

Paso 6.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{5}{2} \cdot - 1$

Paso 6.6

Multiplica $- \frac{5}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 6.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{5}{2})$

Paso 6.6.2

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $1$ .

$\frac{5}{2}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{5}{2}$

Forma decimal:

$2.5$