Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to π} \frac{1 - \sin (x)}{2 + 2 \cos (2 x)}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} 1 - \sin (x)}{lim_{x \to π} 2 + 2 \cos (2 x)}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} 1 - lim_{x \to π} \sin (x)}{lim_{x \to π} 2 + 2 \cos (2 x)}$

Paso 3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $π$ .

$\frac{1 - lim_{x \to π} \sin (x)}{lim_{x \to π} 2 + 2 \cos (2 x)}$

Paso 4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} 2 + 2 \cos (2 x)}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $π$ .

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} 2 + lim_{x \to π} 2 \cos (2 x)}$

Paso 6

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $π$ .

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to π} x)}{2 + lim_{x \to π} 2 \cos (2 x)}$

Paso 7

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to π} x)}{2 + 2 lim_{x \to π} \cos (2 x)}$

Paso 8

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to π} x)}{2 + 2 \cos (lim_{x \to π} 2 x)}$

Paso 9

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to π} x)}{2 + 2 \cos (2 lim_{x \to π} x)}$

Paso 10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $π$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 10.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$\frac{1 - \sin (π)}{2 + 2 \cos (2 lim_{x \to π} x)}$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $π$ para $x$ .

$\frac{1 - \sin (π)}{2 + 2 \cos (2 π)}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{1 - \sin (0)}{2 + 2 \cos (2 π)}$

Paso 11.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1 - 0}{2 + 2 \cos (2 π)}$

Paso 11.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1 + 0}{2 + 2 \cos (2 π)}$

Paso 11.1.4

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2 + 2 \cos (2 π)}$

Paso 11.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{1}{2 + 2 \cos (0)}$

Paso 11.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{2 + 2 \cdot 1}$

Paso 11.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2 + 2}$

Paso 11.2.4

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{4}$

Forma decimal:

$0.25$