Cálculo Ejemplos

$\frac{\frac{lim_{h \to 0} 1}{{(h + 2)}^{2}} - \frac{1}{4}}{h}$

Paso 1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{\frac{1}{{(h + 2)}^{2}} - \frac{1}{4}}{h}$

Paso 2

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{{(h + 2)}^{2}} - \frac{1}{4}}{h}$

Paso 2.1.2

Reescribe $\frac{1^{2}}{{(h + 2)}^{2}}$ como ${(\frac{1}{h + 2})}^{2}$ .

$\frac{{(\frac{1}{h + 2})}^{2} - \frac{1}{4}}{h}$

Paso 2.1.3

Reescribe $\frac{1}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\frac{{(\frac{1}{h + 2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{h}$

Paso 2.1.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{1}{h + 2}$ y $b = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(\frac{1}{h + 2} + \frac{1}{2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Paso 2.1.5

Simplifica.

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Paso 2.1.5.1

Para escribir $\frac{1}{h + 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Paso 2.1.5.2

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{h + 2}{h + 2}$ .

$\frac{(\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Paso 2.1.5.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(h + 2) \cdot 2$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.1.5.3.1

Multiplica $\frac{1}{h + 2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Paso 2.1.5.3.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{h + 2}{h + 2}$ .

$\frac{(\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} + \frac{h + 2}{2 (h + 2)}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Paso 2.1.5.3.3

Reordena los factores de $(h + 2) \cdot 2$ .

$\frac{(\frac{2}{2 (h + 2)} + \frac{h + 2}{2 (h + 2)}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Paso 2.1.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 + h + 2}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Paso 2.1.5.5

Reordena los términos.

$\frac{\frac{h + 2 + 2}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Paso 2.1.5.6

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Paso 2.1.5.7

Para escribir $\frac{1}{h + 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})}{h}$

Paso 2.1.5.8

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{h + 2}{h + 2}$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2})}{h}$

Paso 2.1.5.9

Escribe cada expresión con un denominador común de $(h + 2) \cdot 2$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.1.5.9.1

Multiplica $\frac{1}{h + 2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2})}{h}$

Paso 2.1.5.9.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{h + 2}{h + 2}$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} - \frac{h + 2}{2 (h + 2)})}{h}$

Paso 2.1.5.9.3

Reordena los factores de $(h + 2) \cdot 2$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{2}{2 (h + 2)} - \frac{h + 2}{2 (h + 2)})}{h}$

Paso 2.1.5.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{2 - (h + 2)}{2 (h + 2)}}{h}$

Paso 2.1.5.11

Reescribe $\frac{2 - (h + 2)}{2 (h + 2)}$ en forma factorizada.

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Paso 2.1.5.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{2 - h - 1 \cdot 2}{2 (h + 2)}}{h}$

Paso 2.1.5.11.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{2 - h - 2}{2 (h + 2)}}{h}$

Paso 2.1.5.11.3

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{- h + 0}{2 (h + 2)}}{h}$

Paso 2.1.5.11.4

Suma $- h$ y $0$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{- h}{2 (h + 2)}}{h}$

Paso 2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot - 1 \frac{h}{2 (h + 2)}}{h}$

Paso 2.1.7

Combina exponentes.

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Paso 2.1.7.1

Factoriza el negativo.

$\frac{- (\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{h}{2 (h + 2)})}{h}$

Paso 2.1.7.2

Multiplica $\frac{h + 4}{2 (h + 2)}$ por $\frac{h}{2 (h + 2)}$ .

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{2 (h + 2) (2 (h + 2))}}{h}$

Paso 2.1.7.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 (h + 2) (h + 2)}}{h}$

Paso 2.1.7.4

Eleva $h + 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 ({(h + 2)}^{1} (h + 2))}}{h}$

Paso 2.1.7.5

Eleva $h + 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 ({(h + 2)}^{1} {(h + 2)}^{1})}}{h}$

Paso 2.1.7.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{1 + 1}}}{h}$

Paso 2.1.7.7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}}}{h}$

Paso 2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}}$ al numerador.

$\frac{- (h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 2.3.2

Factoriza $h$ de $- (h + 4) h$ .

$\frac{h (- (h + 4))}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 2.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{h (- (h + 4))}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 2.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- (h + 4)}{4 {(h + 2)}^{2}}$

Paso 2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{h + 4}{4 {(h + 2)}^{2}}$