Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln ({(x)}^{2})}{e^{\frac{1}{x}}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln ({(x)}^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{1}{x}}}$

Paso 1.1.2

A medida que $x$ se acerca a $0$ desde el lado derecho, $\ln ({(x)}^{2})$ disminuye sin cota.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{1}{x}}}$

Paso 1.1.3

Como el exponente $\frac{1}{x}$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{\frac{1}{x}}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 1.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 1.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln ({(x)}^{2})}{e^{\frac{1}{x}}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln ({(x)}^{2})]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln ({(x)}^{2})]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = {(x)}^{2}$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como ${(x)}^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [{(x)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Paso 1.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [{(x)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con ${(x)}^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Paso 1.3.4

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Paso 1.3.5

Combina $\frac{2}{x^{2}}$ y $x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Paso 1.3.6

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 1.3.6.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x \cdot 2}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Paso 1.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.6.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Paso 1.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Paso 1.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 1.3.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 1.3.7.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 1.3.7.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 1.3.8

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Paso 1.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})}$

Paso 1.3.10

Simplifica.

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Paso 1.3.10.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x^{2}})}$

Paso 1.3.10.2

Combina $e^{\frac{1}{x}}$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{x} (- \frac{x^{2}}{e^{\frac{1}{x}}})$

Paso 1.5

Multiplica $\frac{2}{x}$ por $\frac{x^{2}}{e^{\frac{1}{x}}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{2 x^{2}}{x e^{\frac{1}{x}}}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 1.6.1

Factoriza $x$ de $2 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x (2 x)}{x e^{\frac{1}{x}}}$

Paso 1.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.6.2.1

Factoriza $x$ de $x e^{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x (2 x)}{x (e^{\frac{1}{x}})}$

Paso 1.6.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x (2 x)}{x e^{\frac{1}{x}}}$

Paso 1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{2 x}{e^{\frac{1}{x}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{e^{\frac{1}{x}}}$

Paso 2.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{e^{\frac{1}{x}}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{x}{e^{\frac{1}{x}}}$ se acerca a $0$ .

$- 2 \cdot 0$

Paso 4

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$0$