Cálculo Ejemplos

$f (x) = e^{x} {(3 + 5 x)}^{2}$

Paso 1

Reescribe ${(3 + 5 x)}^{2}$ como $(3 + 5 x) (3 + 5 x)$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} ((3 + 5 x) (3 + 5 x))]$

Paso 2

Expande $(3 + 5 x) (3 + 5 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [e^{x} (3 (3 + 5 x) + 5 x (3 + 5 x))]$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [e^{x} (3 \cdot 3 + 3 (5 x) + 5 x (3 + 5 x))]$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [e^{x} (3 \cdot 3 + 3 (5 x) + 5 x \cdot 3 + 5 x (5 x))]$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (9 + 3 (5 x) + 5 x \cdot 3 + 5 x (5 x))]$

Paso 3.1.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (9 + 15 x + 5 x \cdot 3 + 5 x (5 x))]$

Paso 3.1.3

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (9 + 15 x + 15 x + 5 x (5 x))]$

Paso 3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d x} [e^{x} (9 + 15 x + 15 x + 5 \cdot 5 x \cdot x)]$

Paso 3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (9 + 15 x + 15 x + 5 \cdot 5 (x \cdot x))]$

Paso 3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (9 + 15 x + 15 x + 5 \cdot 5 x^{2})]$

Paso 3.1.6

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (9 + 15 x + 15 x + 25 x^{2})]$

Paso 3.2

Suma $15 x$ y $15 x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (9 + 30 x + 25 x^{2})]$

Paso 4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 9 + 30 x + 25 x^{2}$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [9 + 30 x + 25 x^{2}] + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 + 30 x + 25 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]$ .

$e^{x} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 5.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 5.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [30 x]$ .

$e^{x} (\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 5.4

Como $30$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $30 x$ con respecto a $x$ es $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} (30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 5.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x} (30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 5.6

Multiplica $30$ por $1$ .

$e^{x} (30 + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 5.7

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25 x^{2}$ con respecto a $x$ es $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{x} (30 + 25 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 5.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{x} (30 + 25 (2 x)) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 5.9

Multiplica $2$ por $25$ .

$e^{x} (30 + 50 x) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 6

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} (30 + 50 x) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) e^{x}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x} \cdot 30 + e^{x} (50 x) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) e^{x}$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x} \cdot 30 + e^{x} (50 x) + 9 e^{x} + 30 x e^{x} + 25 x^{2} e^{x}$

Paso 7.3

Combina los términos.

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Paso 7.3.1

Mueve $30$ a la izquierda de $e^{x}$ .

$30 \cdot e^{x} + e^{x} (50 x) + 9 e^{x} + 30 x e^{x} + 25 x^{2} e^{x}$

Paso 7.3.2

Suma $30 e^{x}$ y $9 e^{x}$ .

$e^{x} (50 x) + 39 e^{x} + 30 x e^{x} + 25 x^{2} e^{x}$

Paso 7.3.3

Suma $e^{x} (50 x)$ y $30 x e^{x}$ .

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Paso 7.3.3.1

Mueve $e^{x}$ .

$50 x e^{x} + 30 x e^{x} + 39 e^{x} + 25 x^{2} e^{x}$

Paso 7.3.3.2

Suma $50 x e^{x}$ y $30 x e^{x}$ .

$80 x e^{x} + 39 e^{x} + 25 x^{2} e^{x}$

Paso 7.4

Reordena los términos.

$80 e^{x} x + 25 e^{x} x^{2} + 39 e^{x}$

Paso 7.5

Reordena los factores en $80 e^{x} x + 25 e^{x} x^{2} + 39 e^{x}$ .

$80 x e^{x} + 25 x^{2} e^{x} + 39 e^{x}$