Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} (\frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}) (1)$

Paso 1

Multiplica $\frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} \log_{4} (x)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{\log_{4} (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{\log_{4} (1)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Paso 2.1.2.3

El logaritmo en base $4$ de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{0}{\log_{2} (lim_{x \to 1} x)}$

Paso 2.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{\log_{2} (1)}$

Paso 2.1.3.3

El logaritmo en base $2$ de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Paso 2.3.2

La derivada de $\log_{4} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x \ln (4)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (4)}}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Paso 2.3.3

La derivada de $\log_{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x \ln (2)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (4)}}{\frac{1}{x \ln (2)}}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x \ln (4)} (x \ln (2))$

Paso 2.5

Combina factores.

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Paso 2.5.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x \ln (4)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x}{x \ln (4)} \ln (2)$

Paso 2.5.2

Combina $\frac{x}{x \ln (4)}$ y $\ln (2)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (2)}{x \ln (4)}$

Paso 2.6

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.6.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (2)}{x \ln (4)}$

Paso 2.6.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (2)}{\ln (4)}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $\frac{\ln (2)}{\ln (4)}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{\ln (2)}{\ln (4)}$

Paso 3.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.2.1

Reescribe $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$\frac{\ln (2)}{\ln (2^{2})}$

Paso 3.2.2

Expande $\ln (2^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\frac{\ln (2)}{2 \ln (2)}$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (2)}{2 \ln (2)}$

Paso 3.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$