Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} - x^{3}$

Paso 1

Multiplica para racionalizar el numerador.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} - x^{3}) (\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3})}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Expande el numerador con el método PEIU (primero, exterior, interior, último).

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}}}^{2} + \sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} x^{3} + \sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} (- x^{3}) - x^{6}}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Resta $x^{6}$ de $x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3} + 0}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Paso 2.2.2

Suma $- 5 x^{3}$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{6} - 5 x^{3}$ .

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Paso 3.1.1.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{3} x^{3} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Paso 3.1.1.2

Factoriza $x^{3}$ de $- 5 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 5} + x^{3}}$

Paso 3.1.1.3

Factoriza $x^{3}$ de $x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{3} (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

Paso 3.1.2

Reescribe $x^{3} (x^{3} - 5)$ como $x^{2} (x (x^{3} - 5))$ .

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Paso 3.1.2.1

Factoriza $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{2} x (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

Paso 3.1.2.2

Agrega paréntesis.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{2} (x (x^{3} - 5))} + x^{3}}$

Paso 3.1.3

Retira los términos de abajo del radical.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{x \sqrt{x (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

Paso 3.2

Mueve el término $- 5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{x \sqrt{x (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

Paso 4

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{3}$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}}}{\frac{x \sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 5.1.1

Cancela el factor común.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}}}{\frac{x \sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 5.1.2

Reescribe la expresión.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x \sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{2}} + 1}$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

Paso 6

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 6.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{1} x^{3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

Paso 6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{1 + 3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

Paso 6.2

Suma $1$ y $3$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{4} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + 1}$

Paso 7.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$- 5 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + 1}$

Paso 7.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + 1}$

Paso 7.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.5

Factoriza $x$ de $x^{4} - 5 x$ .

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Paso 7.5.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{3} - 5 x}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.5.2

Factoriza $x$ de $- 5 x$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.5.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{3} + x \cdot - 5$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 8

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x^{4}}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 9

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x^{4}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 10

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x \cdot x^{3}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 10.2

Cancela el factor común.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x \cdot x^{3}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 10.3

Reescribe la expresión.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 5}{x^{3}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 11

Evalúa el límite.

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Paso 11.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x^{3} - 5}{x^{3}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 11.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} - 5}{x^{3}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 12

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{3}$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 13

Evalúa el límite.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 13.1.1.1

Cancela el factor común.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 13.1.1.2

Reescribe la expresión.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 13.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 13.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 13.2.1

Cancela el factor común.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 13.2.2

Reescribe la expresión.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{3}}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 13.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 13.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 13.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 13.6

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 15

Evalúa el límite.

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Paso 15.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 15.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 15.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1} + 1}$

Paso 15.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 15.4.1

Divide $1 - 5 \cdot 0$ por $1$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1} + 1}$

Paso 15.4.2

Divide $\sqrt{1 - 5 \cdot 0}$ por $1$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 - 5 \cdot 0} + 1}$

Paso 15.4.3

Simplifica el denominador.

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Paso 15.4.3.1

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

Paso 15.4.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1} + 1}$

Paso 15.4.3.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$- 5 \frac{1}{1 + 1}$

Paso 15.4.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$- 5 (\frac{1}{2})$

Paso 15.4.4

Combina $- 5$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2}$

Paso 15.4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{2}$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{5}{2}$

Forma decimal:

$- 2.5$