Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x^{2})}{x^{3}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (1 + x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 1 + x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Paso 1.1.2.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0^{+}} x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Paso 1.1.2.1.4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\ln (1 + {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\ln (1 + 0^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Paso 1.1.2.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Paso 1.1.2.3.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{3}}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Paso 1.1.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x^{2})}{x^{3}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.7

Combina $2$ y $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{1 + x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.8

Combina $\frac{2}{1 + x^{2}}$ y $x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.9

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x}{x^{2} + 1}}{3 x^{2}}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

Paso 1.5

Multiplica $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ por $\frac{1}{3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{(x^{2} + 1) (3 x^{2})}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 1.6.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot 2}{(x^{2} + 1) (3 x^{2})}$

Paso 1.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.6.2.1

Factoriza $x$ de $(x^{2} + 1) (3 x^{2})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot 2}{x ((x^{2} + 1) (3 x))}$

Paso 1.6.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot 2}{x ((x^{2} + 1) (3 x))}$

Paso 1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{(x^{2} + 1) (3 x)}$

Paso 2

Como el numerador es positivo y el denominador $(x^{2} + 1) (3 x)$ se acerca a cero y es mayor que cero para $x$ cerca de $0$ a la derecha, la función aumenta sin cota.

$\infty$