Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (x) \ln (x)$

Paso 1

Reescribe $\tan (x) \ln (x)$ como $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\tan (x)}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\tan (x)}}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}$

Paso 2.1.2

A medida que $x$ se acerca a $0$ desde el lado derecho, $\ln (x)$ disminuye sin cota.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Aplica las identidades trigonométricas.

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Paso 2.1.3.1.1

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

Paso 2.1.3.1.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Paso 2.1.3.1.3

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

Paso 2.1.3.2

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ desde la derecha, los valores de la función aumentan sin cota.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 2.1.3.3

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 2.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 2.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\tan (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

Paso 2.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

Paso 2.3.3

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]}$

Paso 2.3.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

Paso 2.3.5

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

Paso 2.3.6.2

Multiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Paso 2.3.8

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Paso 2.3.9

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Paso 2.3.10

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Paso 2.3.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Paso 2.3.12

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Paso 2.3.13

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Paso 2.3.14

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin^{2} (x)}}$

Paso 2.3.15

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin^{2} (x)}}$

Paso 2.3.16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}}$

Paso 2.3.17

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Paso 2.3.18

Simplifica.

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Paso 2.3.18.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.18.1.1

Factoriza $- 1$ de $- \sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Paso 2.3.18.1.2

Factoriza $- 1$ de $- \cos^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}$

Paso 2.3.18.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}$

Paso 2.3.18.1.4

Aplica la identidad pitagórica.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}}$

Paso 2.3.18.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 1}{\sin^{2} (x)}}$

Paso 2.3.18.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)}}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- \sin^{2} (x))$

Paso 2.5

Combina $\frac{1}{x}$ y $\sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin^{2} (x)}{x}$

Paso 3

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin^{2} (x)}{x}$

Paso 4

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Paso 4.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 4.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 4.1.2.1.1

Mueve el exponente $2$ de $\sin^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$- \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} \sin (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Paso 4.1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$- \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Paso 4.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- \frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Paso 4.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1.2.3.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Paso 4.1.2.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Paso 4.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- \frac{0}{0}$

Paso 4.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- \frac{0}{0}$

Paso 4.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin^{2} (x)}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 4.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.4

Simplifica.

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Paso 4.3.4.1

Reordena los factores de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.4.2

Reordena $2 \cos (x)$ y $\sin (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \cdot 2 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.4.3

Reordena $\sin (x)$ y $2$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.4.4

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (2 x)}{1}$

Paso 4.4

Divide $\sin (2 x)$ por $1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$- \sin (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)$

Paso 5.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- \sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)$

Paso 6

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- \sin (2 \cdot 0)$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$- \sin (0)$

Paso 7.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- 0$

Paso 7.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0$