Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{\tan^{2} (2 x - 2)}{x^{2} - 2 x + 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} \tan^{2} (2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Mueve el exponente $2$ de $\tan^{2} (2 x - 2)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} \tan (2 x - 2))}^{2}}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 1} 2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

Paso 1.1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

Paso 1.1.2.1.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\tan^{2} (2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

Paso 1.1.2.1.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{\tan^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{\tan^{2} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\tan^{2} (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\tan^{2} (2 - 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{\tan^{2} (0)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

Paso 1.1.2.3.3

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

Paso 1.1.2.3.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.1.3.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.1.3.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}$

Paso 1.1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}$

Paso 1.1.3.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}$

Paso 1.1.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.6.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0}{1 - 2 \cdot 1 + 1}$

Paso 1.1.3.6.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 2 + 1}$

Paso 1.1.3.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Paso 1.1.3.6.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.6.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\tan^{2} (2 x - 2)}{x^{2} - 2 x + 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \tan (2 x - 2)$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\tan (2 x - 2)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\tan (2 x - 2)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 2 x - 2$ .

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Paso 1.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x - 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x - 2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 1.3.3.2

La derivada de $\tan (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec^{2} (u_{2})$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 1.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x - 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) (\sec^{2} (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 1.3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 1.3.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 1.3.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (2 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 1.3.8

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 1.3.9

Suma $2$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 1.3.10

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \tan (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 1.3.11

Reordena los factores de $4 \tan (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 1.3.12

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 1.3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 1.3.14

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 1.3.14.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 1.3.14.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 1.3.14.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 1.3.15

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{2 x - 2 + 0}$

Paso 1.3.16

Suma $2 x - 2$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{2 x - 2}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2 x - 2$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $2$ de $4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2))}{2 x - 2}$

Paso 1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2))}{2 (x) - 2}$

Paso 1.4.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2))}{2 (x) + 2 (- 1)}$

Paso 1.4.2.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2))}{2 (x - 1)}$

Paso 1.4.2.4

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2))}{2 (x - 1)}$

Paso 1.4.2.5

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{x - 1}$

Paso 2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{x - 1}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$2 \frac{lim_{x \to 1} \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$2 \frac{lim_{x \to 1} \sec^{2} (2 x - 2) \cdot lim_{x \to 1} \tan (2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 3.1.2.2

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (2 x - 2)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$2 \frac{{(lim_{x \to 1} \sec (2 x - 2))}^{2} \cdot lim_{x \to 1} \tan (2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 3.1.2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$2 \frac{\sec^{2} (lim_{x \to 1} 2 x - 2) \cdot lim_{x \to 1} \tan (2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 3.1.2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$2 \frac{\sec^{2} (lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} \tan (2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 3.1.2.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} \tan (2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 3.1.2.6

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 1} \tan (2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 3.1.2.7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) \cdot \tan (lim_{x \to 1} 2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 3.1.2.8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) \cdot \tan (lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 3.1.2.9

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) \cdot \tan (2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 3.1.2.10

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) \cdot \tan (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 3.1.2.11

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.11.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$2 \frac{\sec^{2} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot \tan (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 3.1.2.11.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$2 \frac{\sec^{2} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot \tan (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 3.1.2.12

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.2.12.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.12.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \frac{\sec^{2} (2 - 1 \cdot 2) \cdot \tan (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 3.1.2.12.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 \frac{\sec^{2} (2 - 2) \cdot \tan (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 3.1.2.12.2

Resta $2$ de $2$ .

$2 \frac{\sec^{2} (0) \cdot \tan (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 3.1.2.12.3

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$2 \frac{1^{2} \cdot \tan (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 3.1.2.12.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 \frac{1 \cdot \tan (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 3.1.2.12.5

Multiplica $\tan (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)$ por $1$ .

$2 \frac{\tan (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 3.1.2.12.6

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.12.6.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \frac{\tan (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 3.1.2.12.6.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 \frac{\tan (2 - 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 3.1.2.12.7

Resta $2$ de $2$ .

$2 \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 3.1.2.12.8

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 3.1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$2 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 \frac{0}{1 - 1}$

Paso 3.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 3.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 3.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 3.2

$lim_{x \to 1} \frac{\sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sec^{2} (2 x - 2)$ y $g (x) = \tan (2 x - 2)$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{2} (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 2)] + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 2 x - 2$ .

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Paso 3.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x - 2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{2} (2 x - 2) \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x - 2] + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.3.2

La derivada de $\tan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec^{2} (u_{1})$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x - 2] + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x - 2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2] + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.4

Multiplica $\sec^{2} (2 x - 2)$ por $\sec^{2} (2 x - 2)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.4.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 lim_{x \to 1} \frac{{\sec (2 x - 2)}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [2 x - 2] + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.4.2

Suma $2$ y $2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{4} (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2] + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{4} (2 x - 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.6

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{4} (2 x - 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{4} (2 x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{4} (2 x - 2) (2 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.9

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{4} (2 x - 2) (2 + 0) + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.10

Suma $2$ y $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{4} (2 x - 2) \cdot 2 + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.11

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec^{4} (2 x - 2)$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \cdot \sec^{4} (2 x - 2) + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.12

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (2 x - 2)$ .

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Paso 3.3.12.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\sec (2 x - 2)$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.12.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + \tan (2 x - 2) \cdot 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.12.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sec (2 x - 2)$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + \tan (2 x - 2) \cdot 2 \sec (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.13

Mueve $2$ a la izquierda de $\tan (2 x - 2)$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \cdot \tan (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.14

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 2 x - 2$ .

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Paso 3.3.14.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $2 x - 2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.14.2

La derivada de $\sec (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.14.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $2 x - 2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.15

Eleva $\tan (2 x - 2)$ a la potencia de $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{1} (2 x - 2) \tan (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.16

Eleva $\tan (2 x - 2)$ a la potencia de $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{1} (2 x - 2) \tan^{1} (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 {\tan (2 x - 2)}^{1 + 1} \sec (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.18

Suma $1$ y $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.19

Eleva $\sec (2 x - 2)$ a la potencia de $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{1} (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.20

Eleva $\sec (2 x - 2)$ a la potencia de $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{1} (2 x - 2) \sec^{1} (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.21

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) {\sec (2 x - 2)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.22

Suma $1$ y $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.23

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.24

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.25

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.26

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (2 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.27

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.28

Suma $2$ y $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.29

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 4 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.30

Simplifica.

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Paso 3.3.30.1

Reordena los términos.

$2 lim_{x \to 1} \frac{4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan^{2} (2 x - 2) + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.30.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.30.2.1

Reescribe $\sec (2 x - 2)$ en términos de senos y cosenos.

$2 lim_{x \to 1} \frac{4 {(\frac{1}{\cos (2 x - 2)})}^{2} \tan^{2} (2 x - 2) + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.30.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (2 x - 2)}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x - 2)} \tan^{2} (2 x - 2) + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.30.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 lim_{x \to 1} \frac{4 \frac{1}{\cos^{2} (2 x - 2)} \tan^{2} (2 x - 2) + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.30.2.4

Combina $4$ y $\frac{1}{\cos^{2} (2 x - 2)}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{\cos^{2} (2 x - 2)} \tan^{2} (2 x - 2) + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.30.2.5

Reescribe $\tan (2 x - 2)$ en términos de senos y cosenos.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{\cos^{2} (2 x - 2)} {(\frac{\sin (2 x - 2)}{\cos (2 x - 2)})}^{2} + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.30.2.6

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (2 x - 2)}{\cos (2 x - 2)}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{\cos^{2} (2 x - 2)} \cdot \frac{\sin^{2} (2 x - 2)}{\cos^{2} (2 x - 2)} + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.30.2.7

Combinar.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \sin^{2} (2 x - 2)}{\cos^{2} (2 x - 2) \cos^{2} (2 x - 2)} + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.30.2.8

Multiplica $\cos^{2} (2 x - 2)$ por $\cos^{2} (2 x - 2)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.30.2.8.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \sin^{2} (2 x - 2)}{{\cos (2 x - 2)}^{2 + 2}} + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.30.2.8.2

Suma $2$ y $2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \sin^{2} (2 x - 2)}{\cos^{4} (2 x - 2)} + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.30.2.9

Reescribe $\sec (2 x - 2)$ en términos de senos y cosenos.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \sin^{2} (2 x - 2)}{\cos^{4} (2 x - 2)} + 2 {(\frac{1}{\cos (2 x - 2)})}^{4}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.30.2.10

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (2 x - 2)}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \sin^{2} (2 x - 2)}{\cos^{4} (2 x - 2)} + 2 \frac{1^{4}}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.30.2.11

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \sin^{2} (2 x - 2)}{\cos^{4} (2 x - 2)} + 2 \frac{1}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.30.2.12

Combina $2$ y $\frac{1}{\cos^{4} (2 x - 2)}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \sin^{2} (2 x - 2)}{\cos^{4} (2 x - 2)} + \frac{2}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.30.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \sin^{2} (2 x - 2) + 2}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.30.4

Factoriza $2$ de $4 \sin^{2} (2 x - 2) + 2$ .

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Paso 3.3.30.4.1

Factoriza $2$ de $4 \sin^{2} (2 x - 2)$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \cdot 2 \sin^{2} (2 x - 2) + 2}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.30.4.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \cdot 2 \sin^{2} (2 x - 2) + 2 (1)}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.30.4.3

Factoriza $2$ de $2 (2 \sin^{2} (2 x - 2)) + 2 (1)$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 (2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1)}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3.31

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 (2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1)}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.3.32

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 (2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1)}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.3.33

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 (2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1)}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{1 + 0}$

Paso 3.3.34

Suma $1$ y $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 (2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1)}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{1}$

Paso 3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1)}{\cos^{4} (2 x - 2)} \cdot 1$

Paso 3.5

Multiplica $\frac{2 (2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1)}{\cos^{4} (2 x - 2)}$ por $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1)}{\cos^{4} (2 x - 2)}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \cdot 2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1}{\cos^{4} (2 x - 2)}$

Paso 4.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$2 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 1} 2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1}{lim_{x \to 1} \cos^{4} (2 x - 2)}$

Paso 4.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$2 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 1} 2 \sin^{2} (2 x - 2) + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \cos^{4} (2 x - 2)}$

Paso 4.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \cdot 2 \frac{2 lim_{x \to 1} \sin^{2} (2 x - 2) + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \cos^{4} (2 x - 2)}$

Paso 4.5

Mueve el exponente $2$ de $\sin^{2} (2 x - 2)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$2 \cdot 2 \frac{2 {(lim_{x \to 1} \sin (2 x - 2))}^{2} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \cos^{4} (2 x - 2)}$

Paso 4.6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (lim_{x \to 1} 2 x - 2) + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \cos^{4} (2 x - 2)}$

Paso 4.7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 2) + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \cos^{4} (2 x - 2)}$

Paso 4.8

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2) + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \cos^{4} (2 x - 2)}$

Paso 4.9

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \cos^{4} (2 x - 2)}$

Paso 4.10

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) + 1}{lim_{x \to 1} \cos^{4} (2 x - 2)}$

Paso 4.11

Mueve el exponente $4$ de $\cos^{4} (2 x - 2)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) + 1}{{(lim_{x \to 1} \cos (2 x - 2))}^{4}}$

Paso 4.12

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) + 1}{\cos^{4} (lim_{x \to 1} 2 x - 2)}$

Paso 4.13

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) + 1}{\cos^{4} (lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 2)}$

Paso 4.14

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) + 1}{\cos^{4} (2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2)}$

Paso 4.15

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) + 1}{\cos^{4} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}$

Paso 5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + 1}{\cos^{4} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + 1}{\cos^{4} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \frac{2 \sin^{2} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + 1}{\cos^{4} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Paso 6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$4 \frac{2 \sin^{2} (2 - 1 \cdot 2) + 1}{\cos^{4} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 \frac{2 \sin^{2} (2 - 2) + 1}{\cos^{4} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Paso 6.2.2

Resta $2$ de $2$ .

$4 \frac{2 \sin^{2} (0) + 1}{\cos^{4} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Paso 6.2.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$4 \frac{2 \cdot 0^{2} + 1}{\cos^{4} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Paso 6.2.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 \frac{2 \cdot 0 + 1}{\cos^{4} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Paso 6.2.5

Multiplica $2$ por $0$ .

$4 \frac{0 + 1}{\cos^{4} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Paso 6.2.6

Suma $0$ y $1$ .

$4 \frac{1}{\cos^{4} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Paso 6.3

Simplifica el denominador.

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Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$4 \frac{1}{\cos^{4} (2 - 1 \cdot 2)}$

Paso 6.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 \frac{1}{\cos^{4} (2 - 2)}$

Paso 6.3.2

Resta $2$ de $2$ .

$4 \frac{1}{\cos^{4} (0)}$

Paso 6.3.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$4 \frac{1}{1^{4}}$

Paso 6.3.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 (\frac{1}{1})$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 6.4.1

Cancela el factor común.

$4 (\frac{1}{1})$

Paso 6.4.2

Reescribe la expresión.

$4 \cdot 1$

Paso 6.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$