Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} (x^{3}) \sin (\frac{π}{x}) = 0$

Paso 1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$lim_{x \to 0} x^{3} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x}) = 0$

Paso 1.2

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

${(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x}) = 0$

Paso 2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$0^{3} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x}) = 0$

Paso 3

Considera el límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{π}{x})$

Paso 4

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\sin (\frac{π}{x})$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & - 0.85104601 \\ - 0.0001 & 0.17871591 \\ - 0.00001 & 0.97661742 \\ - 0.000001 & 0.99374486 \\ - 0.0000001 & - 0.96737158 \\ - 0.00000001 & 0.43267965 \\ 0 & 0.00000098 \\ 0 & 0.00001749 \end{array}$

Paso 5

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $0$ . Por lo tanto, el límite de $\sin (\frac{π}{x})$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda es $0$ .

$0$

Paso 6

Considera el límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{π}{x})$

Paso 7

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\sin (\frac{π}{x})$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & 0 \\ 0.001 & - 0.7449523 \\ 0.0001 & 0.99417798 \\ 0.00001 & 0.48320985 \\ 0.000001 & 0.17483031 \\ 0.0000001 & - 0.03148204 \\ 0.00000001 & - 0.74176093 \\ 0 & - 0.00000098 \\ 0 & - 0.00001749 \end{array}$

Paso 8

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $0$ . Por lo tanto, el límite de $\sin (\frac{π}{x})$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha es $0$ .

$0^{3} \cdot 0 = 0$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Multiplica $0^{3}$ por $0$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Multiplica $0^{3}$ por $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.1

Eleva $0$ a la potencia de $1$ .

$0^{3} \cdot 0^{1} = 0$

Paso 9.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$0^{3 + 1} = 0$

Paso 9.1.2

Suma $3$ y $1$ .

$0^{4} = 0$

Paso 9.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 = 0$