Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x + x \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x + x \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Paso 1.1.2.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 + lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Paso 1.1.2.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 + 0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Paso 1.1.2.4.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 + 0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Paso 1.1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.5.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{0 + 0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Paso 1.1.2.5.1.2

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Paso 1.1.2.5.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 1.1.3.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.1.3.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.1.3.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin (0) \cdot \cos (0)}$

Paso 1.1.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.5.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0)}$

Paso 1.1.3.5.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.5.3

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.5.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x + x \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + x \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + x \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + x \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [x \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

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Paso 1.3.4.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Paso 1.3.4.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Paso 1.3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Paso 1.3.4.4

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + x (- \sin (x)) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Paso 1.3.5

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 1.3.7

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 1.3.8

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 1.3.9

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 1.3.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 1.3.11

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 1.3.12

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)}$

Paso 1.3.13

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}$

Paso 1.3.14

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Paso 1.3.15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}$

Paso 1.3.16

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

Paso 1.3.17

Simplifica.

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Paso 1.3.17.1

Reordena $- \sin^{2} (x)$ y $\cos^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}$

Paso 1.3.17.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos (x)$ y $b = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Paso 1.3.17.3

Expande $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.17.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))}$

Paso 1.3.17.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))}$

Paso 1.3.17.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

Paso 1.3.17.4

Combina los términos opuestos en $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Paso 1.3.17.4.1

Reordena los factores en los términos $\cos (x) (- \sin (x))$ y $\sin (x) \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

Paso 1.3.17.4.2

Suma $- \cos (x) \sin (x)$ y $\cos (x) \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))}$

Paso 1.3.17.4.3

Suma $\cos (x) \cos (x)$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

Paso 1.3.17.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.17.5.1

Multiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 1.3.17.5.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

Paso 1.3.17.5.1.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

Paso 1.3.17.5.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))}$

Paso 1.3.17.5.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

Paso 1.3.17.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)}$

Paso 1.3.17.5.3

Multiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Paso 1.3.17.5.3.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))}$

Paso 1.3.17.5.3.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}$

Paso 1.3.17.5.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}$

Paso 1.3.17.5.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}$

Paso 1.3.17.6

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (2 x)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 2.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 2.6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 2.7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Paso 2.8

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 \cdot \sin (0) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 \cdot \sin (0) + 1 + \cos (0)}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 \cdot \sin (0) + 1 + \cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0 \cdot 0 + 1 + \cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 4.1.2

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{0 + 1 + \cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 4.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 4.1.4

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1 + 1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 4.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{2}{\cos (0)}$

Paso 4.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{2}{1}$

Paso 4.3

Divide $2$ por $1$ .

$2$