Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} (x^{2}) \cot (x^{2})$

Paso 1

Reescribe $(x^{2}) \cot (x^{2})$ como $\frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Paso 2

Establece el límite como un límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Paso 3

Evalúa el límite izquierdo.

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Paso 3.1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Paso 3.1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.1.2.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Paso 3.1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Paso 3.1.1.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Paso 3.1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.1.3.1

Aplica las identidades trigonométricas.

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Paso 3.1.1.3.1.1

Reescribe $\cot (x^{2})$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}}$

Paso 3.1.1.3.1.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

Paso 3.1.1.3.1.3

Convierte de $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ a $\tan (x^{2})$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \tan (x^{2})}$

Paso 3.1.1.3.2

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.1.3.2.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{-}} x^{2})}$

Paso 3.1.1.3.2.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{\tan ({(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2})}$

Paso 3.1.1.3.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\tan (0^{2})}$

Paso 3.1.1.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.1.3.4.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Paso 3.1.1.3.4.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.1.3.4.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.1.3.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Paso 3.1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Paso 3.1.3.3

Reescribe $\cot (x^{2})$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}]}$

Paso 3.1.3.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Paso 3.1.3.5

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Paso 3.1.3.6

Simplifica.

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Paso 3.1.3.6.1

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Paso 3.1.3.6.2

Multiplica $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Paso 3.1.3.7

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \sin (x^{2})$ y $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 3.1.3.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.1.3.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 3.1.3.8.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 3.1.3.8.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 3.1.3.9

Eleva $\cos (x^{2})$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 3.1.3.10

Eleva $\cos (x^{2})$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 3.1.3.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{{\cos (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 3.1.3.12

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 3.1.3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 3.1.3.14

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.1.3.14.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 3.1.3.14.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 3.1.3.14.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 3.1.3.15

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + 1 \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 3.1.3.16

Multiplica $\sin (x^{2})$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 3.1.3.17

Eleva $\sin (x^{2})$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 3.1.3.18

Eleva $\sin (x^{2})$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 3.1.3.19

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + {\sin (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 3.1.3.20

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 3.1.3.21

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 3.1.3.22

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.3.22.1

Factoriza $2 x$ de $\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

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Paso 3.1.3.22.1.1

Factoriza $2 x$ de $\cos^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 3.1.3.22.1.2

Factoriza $2 x$ de $\sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 3.1.3.22.1.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2}) + \sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 3.1.3.22.2

Reorganiza los términos.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\sin^{2} (x^{2}) + \cos^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 3.1.3.22.3

Aplica la identidad pitagórica.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x \cdot 1}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 3.1.3.22.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 3.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0^{-}} 2 x \frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Paso 3.1.5

Combina factores.

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Paso 3.1.5.1

Combina $2$ y $\frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} x \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Paso 3.1.5.2

Combina $x$ y $\frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Paso 3.1.6

Reduce.

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Paso 3.1.6.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Paso 3.1.6.1.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Paso 3.1.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.6.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Paso 3.1.6.2.2

Divide $\cos^{2} (x^{2})$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \cos^{2} (x^{2})$

Paso 3.2

Evalúa el límite.

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Paso 3.2.1

Mueve el exponente $2$ de $\cos^{2} (x^{2})$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

${(lim_{x \to 0^{-}} \cos (x^{2}))}^{2}$

Paso 3.2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\cos^{2} (lim_{x \to 0^{-}} x^{2})$

Paso 3.2.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\cos^{2} ({(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2})$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\cos^{2} (0^{2})$

Paso 3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.4.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\cos^{2} (0)$

Paso 3.4.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$1^{2}$

Paso 3.4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1$

Paso 4

Establece el límite como un límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Paso 5

Evalúa el límite derecho.

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Paso 5.1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Paso 5.1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 5.1.1.2.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Paso 5.1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Paso 5.1.1.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Paso 5.1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 5.1.1.3.1

Aplica las identidades trigonométricas.

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Paso 5.1.1.3.1.1

Reescribe $\cot (x^{2})$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}}$

Paso 5.1.1.3.1.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

Paso 5.1.1.3.1.3

Convierte de $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ a $\tan (x^{2})$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x^{2})}$

Paso 5.1.1.3.2

Evalúa el límite.

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Paso 5.1.1.3.2.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{+}} x^{2})}$

Paso 5.1.1.3.2.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{\tan ({(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2})}$

Paso 5.1.1.3.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\tan (0^{2})}$

Paso 5.1.1.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1.1.3.4.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Paso 5.1.1.3.4.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 5.1.1.3.4.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 5.1.1.3.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 5.1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 5.1.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Paso 5.1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Paso 5.1.3.3

Reescribe $\cot (x^{2})$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}]}$

Paso 5.1.3.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Paso 5.1.3.5

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Paso 5.1.3.6

Simplifica.

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Paso 5.1.3.6.1

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Paso 5.1.3.6.2

Multiplica $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Paso 5.1.3.7

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 5.1.3.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 5.1.3.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 5.1.3.8.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 5.1.3.8.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 5.1.3.9

Eleva $\cos (x^{2})$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 5.1.3.10

Eleva $\cos (x^{2})$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 5.1.3.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{{\cos (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 5.1.3.12

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 5.1.3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 5.1.3.14

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 5.1.3.14.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 5.1.3.14.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 5.1.3.14.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 5.1.3.15

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + 1 \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 5.1.3.16

Multiplica $\sin (x^{2})$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 5.1.3.17

Eleva $\sin (x^{2})$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 5.1.3.18

Eleva $\sin (x^{2})$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 5.1.3.19

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + {\sin (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 5.1.3.20

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 5.1.3.21

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 5.1.3.22

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.3.22.1

Factoriza $2 x$ de $\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

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Paso 5.1.3.22.1.1

Factoriza $2 x$ de $\cos^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 5.1.3.22.1.2

Factoriza $2 x$ de $\sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 5.1.3.22.1.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2}) + \sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 5.1.3.22.2

Reorganiza los términos.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\sin^{2} (x^{2}) + \cos^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 5.1.3.22.3

Aplica la identidad pitagórica.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x \cdot 1}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 5.1.3.22.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Paso 5.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} 2 x \frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Paso 5.1.5

Combina factores.

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Paso 5.1.5.1

Combina $2$ y $\frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} x \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Paso 5.1.5.2

Combina $x$ y $\frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Paso 5.1.6

Reduce.

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Paso 5.1.6.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Paso 5.1.6.1.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Paso 5.1.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.6.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Paso 5.1.6.2.2

Divide $\cos^{2} (x^{2})$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x^{2})$

Paso 5.2

Evalúa el límite.

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Paso 5.2.1

Mueve el exponente $2$ de $\cos^{2} (x^{2})$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

${(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x^{2}))}^{2}$

Paso 5.2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x^{2})$

Paso 5.2.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\cos^{2} ({(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2})$

Paso 5.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\cos^{2} (0^{2})$

Paso 5.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.4.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\cos^{2} (0)$

Paso 5.4.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$1^{2}$

Paso 5.4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1$

Paso 6

Como el límite izquierdo es igual al límite derecho, el límite es igual a $1$ .

$1$