Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} (\sqrt{x^{3} + x^{2}}) \sin (\frac{π}{x})$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{3} + x^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Paso 2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} x^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Paso 4

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} x^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Paso 5

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Paso 6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\sqrt{0^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\sqrt{0^{3} + 0^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Paso 7

Considera el límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{π}{x})$

Paso 8

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\sin (\frac{π}{x})$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & - 0.85104601 \\ - 0.0001 & 0.17871591 \\ - 0.00001 & 0.97661742 \\ - 0.000001 & 0.99374486 \\ - 0.0000001 & - 0.96737158 \\ - 0.00000001 & 0.43267965 \\ 0 & 0.00000098 \\ 0 & 0.00001749 \end{array}$

Paso 9

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $0$ . Por lo tanto, el límite de $\sin (\frac{π}{x})$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda es $0$ .

$0$

Paso 10

Considera el límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{π}{x})$

Paso 11

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\sin (\frac{π}{x})$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & 0 \\ 0.001 & - 0.7449523 \\ 0.0001 & 0.99417798 \\ 0.00001 & 0.48320985 \\ 0.000001 & 0.17483031 \\ 0.0000001 & - 0.03148204 \\ 0.00000001 & - 0.74176093 \\ 0 & - 0.00000098 \\ 0 & - 0.00001749 \end{array}$

Paso 12

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $0$ . Por lo tanto, el límite de $\sin (\frac{π}{x})$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha es $0$ .

$\sqrt{0^{3} + 0^{2}} \cdot 0$

Paso 13

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\sqrt{0 + 0^{2}} \cdot 0$

Paso 13.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\sqrt{0 + 0} \cdot 0$

Paso 13.3

Suma $0$ y $0$ .

$\sqrt{0} \cdot 0$

Paso 13.4

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}} \cdot 0$

Paso 13.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$0 \cdot 0$

Paso 13.6

Multiplica $0$ por $0$ .

$0$