Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} - x^{3}} (1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} - x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Paso 2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} - x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Paso 4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Paso 5

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

Paso 7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - lim_{x \to 0} \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

Paso 8

Mueve el exponente $2$ de $\sin^{2} (\frac{2 π}{x})$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

Paso 9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 9.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\sqrt{0^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

Paso 9.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\sqrt{0^{2} - 0^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

Paso 10

Considera el límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{2 π}{x})$

Paso 11

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\sin (\frac{2 π}{x})$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{2 π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & - 0.54407169 \\ - 0.001 & 0.8937534 \\ - 0.0001 & - 0.99742913 \\ - 0.00001 & 0.41991556 \\ - 0.000001 & - 0.22195154 \\ - 0.0000001 & 0.97486841 \\ - 0.00000001 & - 0.78016272 \\ 0 & 0.00000197 \\ 0 & 0.00003499 \end{array}$

Paso 12

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $0$ . Por lo tanto, el límite de $\sin (\frac{2 π}{x})$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda es $0$ .

$0$

Paso 13

Considera el límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{2 π}{x})$

Paso 14

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\sin (\frac{2 π}{x})$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{2 π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & - 0.95891572 \\ 0.001 & - 0.17658004 \\ 0.0001 & - 0.21424608 \\ 0.00001 & - 0.75115029 \\ 0.000001 & - 0.99796383 \\ 0.0000001 & 0.06293287 \\ 0.00000001 & 0.37855005 \\ 0 & - 0.00000197 \\ 0 & - 0.00003499 \end{array}$

Paso 15

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $0$ . Por lo tanto, el límite de $\sin (\frac{2 π}{x})$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha es $0$ .

$\sqrt{0^{2} - 0^{3}} \cdot (1 - 0^{2})$

Paso 16

Simplifica la respuesta.

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Paso 16.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\sqrt{0 - 0^{3}} \cdot (1 - 0^{2})$

Paso 16.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\sqrt{0 - 0} \cdot (1 - 0^{2})$

Paso 16.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\sqrt{0 + 0} \cdot (1 - 0^{2})$

Paso 16.4

Suma $0$ y $0$ .

$\sqrt{0} \cdot (1 - 0^{2})$

Paso 16.5

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}} \cdot (1 - 0^{2})$

Paso 16.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$0 \cdot (1 - 0^{2})$

Paso 16.7

Simplifica cada término.

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Paso 16.7.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 \cdot (1 - 0)$

Paso 16.7.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 \cdot (1 + 0)$

Paso 16.8

Suma $1$ y $0$ .

$0 \cdot 1$

Paso 16.9

Multiplica $0$ por $1$ .

$0$