Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} 5 π (3 \cos (x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - 3)$

Paso 1

Mueve el término $5 π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$5 π lim_{x \to 0} 3 \cos (x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - 3$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$5 π (lim_{x \to 0} 3 \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Paso 3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$5 π (3 lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Paso 4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Paso 5

Mueve el término $2 π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π lim_{x \to 0} \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Paso 6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (lim_{x \to 0} \frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Paso 7

Mueve el término $\frac{5 π}{4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Paso 9

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Paso 10

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (lim_{x \to 0} x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Paso 11

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (lim_{x \to 0} x)}) - 1 \cdot 3)$

Paso 12

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 12.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$5 π (3 \cos (0) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (lim_{x \to 0} x)}) - 1 \cdot 3)$

Paso 12.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$5 π (3 \cos (0) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (0)}) - 1 \cdot 3)$

Paso 13

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$5 π (3 \cdot 1 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (0)}) - 1 \cdot 3)$

Paso 13.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (0)}) - 1 \cdot 3)$

Paso 13.1.3

Reescribe $\sec (0)$ en términos de senos y cosenos.

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (0)}}) - 1 \cdot 3)$

Paso 13.1.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (0)}$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} (1 \cos (0))) - 1 \cdot 3)$

Paso 13.1.5

Multiplica $\cos (0)$ por $1$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cos (0)) - 1 \cdot 3)$

Paso 13.1.6

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot 1) - 1 \cdot 3)$

Paso 13.1.7

Multiplica $\frac{5 π}{4}$ por $1$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4}) - 1 \cdot 3)$

Paso 13.1.8

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 3)$

Paso 13.1.9

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$5 π (3 + 2 π \cdot 1 - 1 \cdot 3)$

Paso 13.1.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$5 π (3 + 2 π - 1 \cdot 3)$

Paso 13.1.11

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$5 π (3 + 2 π - 3)$

Paso 13.2

Resta $3$ de $3$ .

$5 π (2 π + 0)$

Paso 13.3

Suma $2 π$ y $0$ .

$5 π (2 π)$

Paso 13.4

Multiplica $5 π (2 π)$ .

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Paso 13.4.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 π π$

Paso 13.4.2

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$10 (π^{1} π)$

Paso 13.4.3

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$10 (π^{1} π^{1})$

Paso 13.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$10 π^{1 + 1}$

Paso 13.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$10 π^{2}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$10 π^{2}$

Forma decimal:

$98.69604401 \dots$