Cálculo Ejemplos

$\frac{lim_{x \to 1} (x) (\sin (x))}{\cos (3 x)} + \frac{\sin (3 x)}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sin (x)}{\cos (3 x)} + \frac{\sin (3 x)}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

Paso 2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot \sin (lim_{x \to 1} x)}{\cos (3 x)} + \frac{\sin (3 x)}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1 \cdot \sin (lim_{x \to 1} x)}{\cos (3 x)} + \frac{\sin (3 x)}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1 \cdot \sin (1)}{\cos (3 x)} + \frac{\sin (3 x)}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Convierte de $\frac{1 \cdot \sin (1)}{\cos (3 x)}$ a $1 \tan (3 x)$ .

$1 \tan (3 x) + \frac{\sin (3 x)}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

Paso 4.2

Multiplica $\tan (3 x)$ por $1$ .

$\tan (3 x) + \frac{\sin (3 x)}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

Paso 4.3

Reescribe $\frac{\sin (3 x)}{\cos (9 x)}$ como un producto.

$\tan (3 x) + \sin (3 x) \frac{1}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

Paso 4.4

Escribe $\sin (3 x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\tan (3 x) + \frac{\sin (3 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Divide $\sin (3 x)$ por $1$ .

$\tan (3 x) + \sin (3 x) \frac{1}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

Paso 4.5.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (9 x)}$ a $\sec (9 x)$ .

$\tan (3 x) + \sin (3 x) \sec (9 x) + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

Paso 4.6

Reescribe $\frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$ como un producto.

$\tan (3 x) + \sin (3 x) \sec (9 x) + \sin (9 x) \frac{1}{\cos (27 x)}$

Paso 4.7

Escribe $\sin (9 x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\tan (3 x) + \sin (3 x) \sec (9 x) + \frac{\sin (9 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (27 x)}$

Paso 4.8

Simplifica.

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Paso 4.8.1

Divide $\sin (9 x)$ por $1$ .

$\tan (3 x) + \sin (3 x) \sec (9 x) + \sin (9 x) \frac{1}{\cos (27 x)}$

Paso 4.8.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (27 x)}$ a $\sec (27 x)$ .

$\tan (3 x) + \sin (3 x) \sec (9 x) + \sin (9 x) \sec (27 x)$