Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \ln ({(x)}^{x - 1})$

Paso 1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\ln (lim_{x \to 1} {(x)}^{x - 1})$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 2.1

Reescribe ${(x)}^{x - 1}$ como $e^{\ln ({(x)}^{x - 1})}$ .

$\ln (lim_{x \to 1} e^{\ln ({(x)}^{x - 1})})$

Paso 2.2

Expande $\ln ({(x)}^{x - 1})$ ; para ello, mueve $x - 1$ fuera del logaritmo.

$\ln (lim_{x \to 1} e^{(x - 1) \ln (x)})$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$\ln (e^{lim_{x \to 1} (x - 1) \ln (x)})$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)})$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)})$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)})$

Paso 3.5

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\ln (e^{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)})$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\ln (e^{(1 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)})$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\ln (e^{(1 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (1)})$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $(1 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (1)$ fuera del exponente.

$(1 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (1) \ln (e)$

Paso 5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(1 - 1) \cdot \ln (1) \ln (e)$

Paso 5.3

Resta $1$ de $1$ .

$0 \cdot \ln (1) \ln (e)$

Paso 5.4

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$0 \cdot 0 \ln (e)$

Paso 5.5

Multiplica $0$ por $0$ .

$0 \ln (e)$

Paso 5.6

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$0 \cdot 1$

Paso 5.7

Multiplica $0$ por $1$ .

$0$