Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{5 x^{2} - 24 x - 5}{x^{2} + 16 x - 105}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 5 x^{2} - 24 x - 5}{lim_{x \to 1} x^{2} + 16 x - 105}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 5 x^{2} - lim_{x \to 1} 24 x - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} x^{2} + 16 x - 105}$

Paso 3

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 24 x - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} x^{2} + 16 x - 105}$

Paso 4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 24 x - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} x^{2} + 16 x - 105}$

Paso 5

Mueve el término $24$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 24 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} x^{2} + 16 x - 105}$

Paso 6

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 24 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} x^{2} + 16 x - 105}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 24 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 16 x - lim_{x \to 1} 105}$

Paso 8

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 24 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 16 x - lim_{x \to 1} 105}$

Paso 9

Mueve el término $16$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 24 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 16 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 105}$

Paso 10

Evalúa el límite de $105$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 24 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 16 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 105}$

Paso 11

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 11.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{5 \cdot 1^{2} - 24 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 16 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 105}$

Paso 11.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{5 \cdot 1^{2} - 24 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 16 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 105}$

Paso 11.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{5 \cdot 1^{2} - 24 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{1^{2} + 16 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 105}$

Paso 11.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{5 \cdot 1^{2} - 24 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{1^{2} + 16 \cdot 1 - 1 \cdot 105}$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{5 \cdot 1 - 24 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{1^{2} + 16 \cdot 1 - 1 \cdot 105}$

Paso 12.1.2

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{5 - 24 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{1^{2} + 16 \cdot 1 - 1 \cdot 105}$

Paso 12.1.3

Multiplica $- 24$ por $1$ .

$\frac{5 - 24 - 1 \cdot 5}{1^{2} + 16 \cdot 1 - 1 \cdot 105}$

Paso 12.1.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{5 - 24 - 5}{1^{2} + 16 \cdot 1 - 1 \cdot 105}$

Paso 12.1.5

Resta $24$ de $5$ .

$\frac{- 19 - 5}{1^{2} + 16 \cdot 1 - 1 \cdot 105}$

Paso 12.1.6

Resta $5$ de $- 19$ .

$\frac{- 24}{1^{2} + 16 \cdot 1 - 1 \cdot 105}$

Paso 12.2

Simplifica el denominador.

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Paso 12.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{- 24}{1 + 16 \cdot 1 - 1 \cdot 105}$

Paso 12.2.2

Multiplica $16$ por $1$ .

$\frac{- 24}{1 + 16 - 1 \cdot 105}$

Paso 12.2.3

Multiplica $- 1$ por $105$ .

$\frac{- 24}{1 + 16 - 105}$

Paso 12.2.4

Suma $1$ y $16$ .

$\frac{- 24}{17 - 105}$

Paso 12.2.5

Resta $105$ de $17$ .

$\frac{- 24}{- 88}$

Paso 12.3

Cancela el factor común de $- 24$ y $- 88$ .

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Paso 12.3.1

Factoriza $- 8$ de $- 24$ .

$\frac{- 8 (3)}{- 88}$

Paso 12.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.3.2.1

Factoriza $- 8$ de $- 88$ .

$\frac{- 8 \cdot 3}{- 8 \cdot 11}$

Paso 12.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 8 \cdot 3}{- 8 \cdot 11}$

Paso 12.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{11}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3}{11}$

Forma decimal:

$0.\overline{27}$