Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2 - 9}}{x^{2 - 5 x + 6}}$

Paso 1

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.1

Cancela el factor común de $x^{2 - 9}$ y $x^{2 - 5 x + 6}$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x^{2 - 5 x + 6}$ de $x^{2 - 9}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2 - 5 x + 6} x^{- 7 - (2 - 5 x + 6)}}{x^{2 - 5 x + 6}}$

Paso 1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2 - 5 x + 6} x^{- 7 - (2 - 5 x + 6)}}{x^{2 - 5 x + 6} \cdot 1}$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2 - 5 x + 6} x^{- 7 - (2 - 5 x + 6)}}{x^{2 - 5 x + 6} \cdot 1}$

Paso 1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{- 7 - (2 - 5 x + 6)}}{1}$

Paso 1.1.2.4

Divide $x^{- 7 - (2 - 5 x + 6)}$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} x^{- 7 - (2 - 5 x + 6)}$

Paso 1.2

Suma $2$ y $6$ .

$lim_{x \to 3} x^{- 7 - (- 5 x + 8)}$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 2.1

Reescribe $x^{- 7 - (- 5 x + 8)}$ como $e^{\ln (x^{- 7 - (- 5 x + 8)})}$ .

$lim_{x \to 3} e^{\ln (x^{- 7 - (- 5 x + 8)})}$

Paso 2.2

Expande $\ln (x^{- 7 - (- 5 x + 8)})$ ; para ello, mueve $- 7 - (- 5 x + 8)$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 3} e^{(- 7 - (- 5 x + 8)) \ln (x)}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 3} (- 7 - (- 5 x + 8)) \ln (x)}$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$e^{lim_{x \to 3} - 7 - (- 5 x + 8) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}$

Paso 3.3

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{lim_{x \to 3} - 7 - (- 5 x + 8) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $3$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $- 7 - (- 5 x + 8)$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$e^{(- 7 - (- 5 \cdot 3 + 8)) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$e^{(- 7 - (- 15 + 8)) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}$

Paso 4.2.2

Suma $- 15$ y $8$ .

$e^{(- 7 - - 7) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}$

Paso 4.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$e^{(- 7 + 7) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}$

Paso 4.3

Suma $- 7$ y $7$ .

$e^{0 \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}$

Paso 4.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$e^{0 \cdot \ln (3)}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Simplifica $0 \cdot \ln (3)$ al mover $0$ dentro del algoritmo.

$e^{\ln (3^{0})}$

Paso 5.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$3^{0}$

Paso 5.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1$