Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 3} (\frac{1}{x - 3}) (\frac{1}{\sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2})$

Paso 1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 1.1.1

Multiplica $\frac{1}{x - 3}$ por $\frac{1}{\sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{\sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2}}{x - 3}$

Paso 1.1.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.2.1

Para escribir $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}{x - 3}$

Paso 1.1.2.2

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}}{x - 3}$

Paso 1.1.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $\sqrt{x + 1} \cdot 2$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2}{\sqrt{x + 1} \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}}{x - 3}$

Paso 1.1.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2}{\sqrt{x + 1} \cdot 2} - \frac{\sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1}}}{x - 3}$

Paso 1.1.2.3.3

Reordena los factores de $\sqrt{x + 1} \cdot 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2}{2 \sqrt{x + 1}} - \frac{\sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1}}}{x - 3}$

Paso 1.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 - \sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1}}}{x - 3}$

Paso 1.2

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 1.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 3} \frac{2 - \sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1}} \cdot \frac{1}{x - 3}$

Paso 1.2.2

Multiplica $\frac{2 - \sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1}}$ por $\frac{1}{x - 3}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 - \sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Paso 1.3

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{2 - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 2 - \sqrt{x + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 2 - lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Paso 2.1.2.1.2

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Paso 2.1.2.1.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 3} x + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Paso 2.1.2.1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Paso 2.1.2.1.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 3} x + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{3 + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Paso 2.1.2.3.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Paso 2.1.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - 2}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Paso 2.1.2.3.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} \cdot lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 2.1.3.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1} \cdot lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 2.1.3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1} \cdot lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 2.1.3.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1} \cdot lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 2.1.3.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1} \cdot (lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3)}$

Paso 2.1.3.6

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1} \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}$

Paso 2.1.3.7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $3$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.3.7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{3 + 1} \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}$

Paso 2.1.3.7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{3 + 1} \cdot (3 - 1 \cdot 3)}$

Paso 2.1.3.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.8.1

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{4} \cdot (3 - 1 \cdot 3)}$

Paso 2.1.3.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{2^{2}} \cdot (3 - 1 \cdot 3)}$

Paso 2.1.3.8.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 \cdot (3 - 1 \cdot 3)}$

Paso 2.1.3.8.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 \cdot (3 - 3)}$

Paso 2.1.3.8.5

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 \cdot 0}$

Paso 2.1.3.8.6

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.8.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.9

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 3} \frac{2 - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} (x - 3)} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - \sqrt{x + 1}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 1}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Paso 2.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 1}]$ .

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Paso 2.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Paso 2.3.4.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Paso 2.3.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 2.3.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Paso 2.3.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Paso 2.3.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Paso 2.3.4.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Paso 2.3.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Paso 2.3.4.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Paso 2.3.4.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Paso 2.3.4.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Paso 2.3.4.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Paso 2.3.4.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.4.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Paso 2.3.4.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Paso 2.3.4.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Paso 2.3.4.12

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Paso 2.3.4.13

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Paso 2.3.4.14

Multiplica $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Paso 2.3.4.15

Mueve ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Paso 2.3.5

Resta $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Paso 2.3.6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)]}$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x - 3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Paso 2.3.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Paso 2.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Paso 2.3.10

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Paso 2.3.11

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Paso 2.3.12

Multiplica ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Paso 2.3.13

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 2.3.13.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 2.3.13.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 2.3.13.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 2.3.14

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 2.3.15

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 2.3.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 2.3.17

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.17.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 2.3.17.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 2.3.18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 2.3.19

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 2.3.20

Mueve ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 2.3.21

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Paso 2.3.22

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Paso 2.3.23

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}$

Paso 2.3.24

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}$

Paso 2.3.25

Multiplica $x - 3$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.26

Simplifica.

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Paso 2.3.26.1

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.3.26.2

Multiplica $x - 3$ por $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.3.26.3

Para escribir ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.26.4

Combina ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.26.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.26.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.26.6.1

Multiplica ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.26.6.1.1

Mueve ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.26.6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.26.6.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.26.6.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.26.6.1.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.26.6.2

Simplifica ${(x + 1)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + (x + 1) \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.26.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + x \cdot 2 + 1 \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.26.6.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + 2 \cdot x + 1 \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.26.6.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + 2 \cdot x + 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.26.6.6

Suma $x$ y $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x - 3 + 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.26.6.7

Suma $- 3$ y $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 x - 1}$

Paso 2.5

Convierte los exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 2.5.1

Reescribe ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x + 1}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 x - 1}$

Paso 2.5.2

Reescribe ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x + 1}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} \cdot \frac{2 \sqrt{x + 1}}{3 x - 1}$

Paso 2.6

Multiplica $\frac{2 \sqrt{x + 1}}{3 x - 1}$ por $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{2 \sqrt{x + 1}}{(3 x - 1) \cdot 2 \sqrt{x + 1}}$

Paso 2.7

Reduce.

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Paso 2.7.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.7.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{2 \sqrt{x + 1}}{(3 x - 1) \cdot 2 \sqrt{x + 1}}$

Paso 2.7.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{\sqrt{x + 1}}{(3 x - 1) (\sqrt{x + 1})}$

Paso 2.7.2

Cancela el factor común de $\sqrt{x + 1}$ .

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Paso 2.7.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{\sqrt{x + 1}}{(3 x - 1) \sqrt{x + 1}}$

Paso 2.7.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{1}{3 x - 1}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to 3} \frac{1}{3 x - 1}$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} 3 x - 1}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{1}{lim_{x \to 3} 3 x - 1}$

Paso 3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{1}{lim_{x \to 3} 3 x - lim_{x \to 3} 1}$

Paso 3.5

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{1}{3 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 1}$

Paso 3.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{1}{3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{1}{3 \cdot 3 - 1 \cdot 1}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{3 \cdot 3 - 1 \cdot 1}$

Paso 5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3 \cdot 3 - 1 \cdot 1}$

Paso 5.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9 - 1 \cdot 1}$

Paso 5.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9 - 1}$

Paso 5.3.3

Resta $1$ de $9$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Paso 5.4

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

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Paso 5.4.1

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{8 \cdot 2}$

Paso 5.4.2

Multiplica $8$ por $2$ .

$- \frac{1}{16}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{16}$

Forma decimal:

$- 0.0625$