Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{4}} - \frac{1}{2}}{x - 4}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{1}{\sqrt{4}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}{x - 4}$

Paso 1.2

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}}{x - 4}$

Paso 1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $\sqrt{4} \cdot 2$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{4}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2}{\sqrt{4} \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}}{x - 4}$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2}{\sqrt{4} \cdot 2} - \frac{\sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}}{x - 4}$

Paso 1.3.3

Reordena los factores de $\sqrt{4} \cdot 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2}{2 \sqrt{4}} - \frac{\sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}}{x - 4}$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}}{x - 4}$

Paso 2

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 4} \frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4}} \cdot \frac{1}{x - 4}$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}$ por $\frac{1}{x - 4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Evalúa el límite de $2 - \sqrt{4}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $4$ .

$\frac{2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Paso 3.1.2.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.2.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Paso 3.1.2.2.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Paso 3.1.2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Paso 3.1.2.2.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.3.1.1

Mueve el término $2 \sqrt{4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{2 \sqrt{4} lim_{x \to 4} x - 4}$

Paso 3.1.3.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $4$ .

$\frac{0}{2 \sqrt{4} (lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4)}$

Paso 3.1.3.1.3

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $4$ .

$\frac{0}{2 \sqrt{4} (lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4)}$

Paso 3.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $4$ para $x$ .

$\frac{0}{2 \sqrt{4} (4 - 1 \cdot 4)}$

Paso 3.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.3.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{0}{2 \sqrt{2^{2}} (4 - 1 \cdot 4)}$

Paso 3.1.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{0}{2 \cdot 2 (4 - 1 \cdot 4)}$

Paso 3.1.3.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{0}{4 (4 - 1 \cdot 4)}$

Paso 3.1.3.3.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{4 (4 - 4)}$

Paso 3.1.3.3.5

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0}$

Paso 3.1.3.3.6

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 4} \frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4} (x - 4)} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{4}]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{4}]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Paso 3.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{2^{2}}]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Paso 3.3.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - 1 \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Paso 3.3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - 1 \cdot 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Paso 3.3.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Paso 3.3.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]$ .

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Paso 3.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Paso 3.3.6.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 + 0}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Paso 3.3.7

Suma $0$ y $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Paso 3.3.8

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2^{2}} (x - 4)]}$

Paso 3.3.9

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 (x - 4)]}$

Paso 3.3.10

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [4 (x - 4)]}$

Paso 3.3.11

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 (x - 4)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x - 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Paso 3.3.12

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}$

Paso 3.3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}$

Paso 3.3.14

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 (1 + 0)}$

Paso 3.3.15

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 \cdot 1}$

Paso 3.3.16

Multiplica $4$ por $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $0$ y $4$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $4$ de $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 (0)}{4}$

Paso 3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 4} \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 4} \frac{0}{1}$

Paso 3.4.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$lim_{x \to 4} 0$

Paso 4

Evalúa el límite de $0$ que es constante cuando $x$ se acerca a $4$ .

$0$