Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 3} \frac{x - 1}{x + \sqrt{5 x^{2} + 1}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1}{lim_{x \to 3} x + \sqrt{5 x^{2} + 1}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} x + \sqrt{5 x^{2} + 1}}$

Paso 3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 3} x + \sqrt{5 x^{2} + 1}}$

Paso 4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} \sqrt{5 x^{2} + 1}}$

Paso 5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 3} x + \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x^{2} + 1}}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 3} x + \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x^{2} + lim_{x \to 3} 1}}$

Paso 7

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 3} x + \sqrt{5 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 1}}$

Paso 8

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 3} x + \sqrt{5 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 1}}$

Paso 9

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 3} x + \sqrt{5 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 1}}$

Paso 10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $3$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 10.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 3} x + \sqrt{5 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 1}}$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 1}{3 + \sqrt{5 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 1}}$

Paso 10.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 1}{3 + \sqrt{5 \cdot 3^{2} + 1}}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 - 1}{3 + \sqrt{5 \cdot 3^{2} + 1}}$

Paso 11.1.2

Resta $1$ de $3$ .

$\frac{2}{3 + \sqrt{5 \cdot 3^{2} + 1}}$

Paso 11.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2}{3 + \sqrt{5 \cdot 9 + 1}}$

Paso 11.2.2

Multiplica $5$ por $9$ .

$\frac{2}{3 + \sqrt{45 + 1}}$

Paso 11.2.3

Suma $45$ y $1$ .

$\frac{2}{3 + \sqrt{46}}$

Paso 11.3

Multiplica $\frac{2}{3 + \sqrt{46}}$ por $\frac{3 - \sqrt{46}}{3 - \sqrt{46}}$ .

$\frac{2}{3 + \sqrt{46}} \cdot \frac{3 - \sqrt{46}}{3 - \sqrt{46}}$

Paso 11.4

Multiplica $\frac{2}{3 + \sqrt{46}}$ por $\frac{3 - \sqrt{46}}{3 - \sqrt{46}}$ .

$\frac{2 (3 - \sqrt{46})}{(3 + \sqrt{46}) (3 - \sqrt{46})}$

Paso 11.5

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{2 (3 - \sqrt{46})}{9 - 3 \sqrt{46} + \sqrt{46} \cdot 3 - {\sqrt{46}}^{2}}$

Paso 11.6

Simplifica.

$\frac{2 (3 - \sqrt{46})}{- 37}$

Paso 11.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 (3 - \sqrt{46})}{37}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{2 (3 - \sqrt{46})}{37}$

Forma decimal:

$0.20445026 \dots$