Cálculo Ejemplos

$\frac{\cos (π x + 1)}{x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \cos (π x + 1)$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\cos (π x + 1)] - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = π x + 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $π x + 1$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x + 1]) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$\frac{x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x + 1]) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $π x + 1$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) \frac{d}{d x} [π x + 1]) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $π x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) (\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [1])) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.2

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) (π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) (π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.4

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) (π + \frac{d}{d x} [1])) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) (π + 0)) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.6

Suma $π$ y $0$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) π) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) π) - \cos (π x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 3.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) π) - \cos (π x + 1)}{x^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- π x \sin (π x + 1) - \cos (π x + 1)}{x^{2}}$

Paso 4.2

Factoriza $- 1$ de $- π x \sin (π x + 1)$ .

$\frac{- (π x \sin (π x + 1)) - \cos (π x + 1)}{x^{2}}$

Paso 4.3

Factoriza $- 1$ de $- \cos (π x + 1)$ .

$\frac{- (π x \sin (π x + 1)) - (\cos (π x + 1))}{x^{2}}$

Paso 4.4

Factoriza $- 1$ de $- (π x \sin (π x + 1)) - (\cos (π x + 1))$ .

$\frac{- (π x \sin (π x + 1) + \cos (π x + 1))}{x^{2}}$

Paso 4.5

Reescribe $- (π x \sin (π x + 1) + \cos (π x + 1))$ como $- 1 (π x \sin (π x + 1) + \cos (π x + 1))$ .

$\frac{- 1 (π x \sin (π x + 1) + \cos (π x + 1))}{x^{2}}$

Paso 4.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{π x \sin (π x + 1) + \cos (π x + 1)}{x^{2}}$