Cálculo Ejemplos

$\frac{e^{2 x}}{2 x}$

Paso 1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{e^{2 x}}{2 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{x}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{2 x}$ y $g (x) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (e^{2 x} \cdot 2) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 \cdot e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 e^{2 x}) - e^{2 x} \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 4.5

Combina fracciones.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 e^{2 x}) - e^{2 x}}{x^{2}}$

Paso 4.5.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{x (2 e^{2 x}) - e^{2 x}}{x^{2}}$ .

$\frac{x (2 e^{2 x}) - e^{2 x}}{2 x^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{2 x^{2}}$

Paso 5.2

Reordena los términos.

$\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x}}{2 x^{2}}$

Paso 5.3

Factoriza $e^{2 x}$ de $2 e^{2 x} x - e^{2 x}$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $2 e^{2 x} x$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x) - e^{2 x}}{2 x^{2}}$

Paso 5.3.2

Factoriza $e^{2 x}$ de $- e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2 x^{2}}$

Paso 5.3.3

Factoriza $e^{2 x}$ de $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2 x^{2}}$