Cálculo Ejemplos

$\frac{2}{π} \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - 1))$

Paso 1

Como $\frac{2}{π}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{π} \cdot \sin (\frac{π}{2} (x - 1))$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{π} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{2} (x - 1))]$ .

$\frac{2}{π} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{2} (x - 1))]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \frac{π}{2} (x - 1)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{π}{2} (x - 1)$ .

$\frac{2}{π} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - 1)])$

Paso 2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\frac{2}{π} (\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - 1)])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $\cos (\frac{π}{2} (x - 1))$ y $\frac{2}{π}$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) \cdot 2}{π} \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - 1)]$

Paso 3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (\frac{π}{2} (x - 1))$ .

$\frac{2 \cdot \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{π} \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - 1)]$

Paso 3.3

Como $\frac{π}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{π}{2} (x - 1)$ con respecto a $x$ es $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x - 1]$ .

$\frac{2 \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{π} (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Paso 3.4

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{2 \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{π}$ .

$\frac{π (2 \cos (\frac{π}{2} (x - 1)))}{2 π} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{2 \cdot π \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{2 π} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{2 π} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{π \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{π} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.4.4

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 3.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{π \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{π} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.4.4.2

Divide $\cos (\frac{π}{2} (x - 1))$ por $1$ .

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) (1 + 0)$

Paso 3.8

Simplifica la expresión.

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Paso 3.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) \cdot 1$

Paso 3.8.2

Multiplica $\cos (\frac{π}{2} (x - 1))$ por $1$ .

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1))$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (\frac{π}{2} x + \frac{π}{2} \cdot - 1)$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Combina $\frac{π}{2}$ y $- 1$ .

$\cos (\frac{π}{2} x + \frac{π \cdot - 1}{2})$

Paso 4.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $π$ .

$\cos (\frac{π}{2} x + \frac{- 1 \cdot π}{2})$

Paso 4.2.3

Reescribe $- 1 π$ como $- π$ .

$\cos (\frac{π}{2} x + \frac{- π}{2})$

Paso 4.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (\frac{π}{2} x - \frac{π}{2})$