Cálculo Ejemplos

${(3 x + 2)}^{2} e^{5 x} + \sin (3 x)$

Paso 1

Reescribe ${(3 x + 2)}^{2}$ como $(3 x + 2) (3 x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x + 2) (3 x + 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Paso 2

Expande $(3 x + 2) (3 x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [(3 x (3 x + 2) + 2 (3 x + 2)) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [(3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x + 2)) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [(3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d x} [(3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Paso 3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{d}{d x} [(3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Paso 3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [(3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Paso 3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Paso 3.1.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 6 x + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Paso 3.1.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 6 x + 6 x + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Paso 3.1.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 6 x + 6 x + 4) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Paso 3.2

Suma $6 x$ y $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Paso 4

Según la regla de la suma, la derivada de $(9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + \sin (3 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Paso 5

Evalúa $\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x}]$ .

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Paso 5.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 9 x^{2} + 12 x + 4$ y $g (x) = e^{5 x}$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 5.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $5 x$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Paso 5.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Paso 5.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $5 x$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Paso 5.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Paso 5.5

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{2} + 12 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Paso 5.6

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Paso 5.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Paso 5.8

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Paso 5.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Paso 5.10

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Paso 5.11

Multiplica $5$ por $1$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} \cdot 5) + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Paso 5.12

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{5 x}$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (5 \cdot e^{5 x}) + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Paso 5.13

Mueve $5$ a la izquierda de $9 x^{2} + 12 x + 4$ .

$5 \cdot (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Paso 5.14

Multiplica $2$ por $9$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Paso 5.15

Multiplica $12$ por $1$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Paso 5.16

Suma $18 x + 12$ y $0$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Paso 6

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

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Paso 6.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 6.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 6.1.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 6.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 6.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \cos (3 x) (3 \cdot 1)$

Paso 6.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \cos (3 x) \cdot 3$

Paso 6.5

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (3 x)$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + 3 \cos (3 x)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(5 (9 x^{2}) + 5 (12 x) + 5 \cdot 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + 3 \cos (3 x)$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (9 x^{2}) e^{5 x} + 5 (12 x) e^{5 x} + 5 \cdot 4 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + 3 \cos (3 x)$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (9 x^{2}) e^{5 x} + 5 (12 x) e^{5 x} + 5 \cdot 4 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x) + e^{5 x} \cdot 12 + 3 \cos (3 x)$

Paso 7.4

Combina los términos.

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Paso 7.4.1

Multiplica $9$ por $5$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 5 (12 x) e^{5 x} + 5 \cdot 4 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x) + e^{5 x} \cdot 12 + 3 \cos (3 x)$

Paso 7.4.2

Multiplica $12$ por $5$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 60 x e^{5 x} + 5 \cdot 4 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x) + e^{5 x} \cdot 12 + 3 \cos (3 x)$

Paso 7.4.3

Multiplica $5$ por $4$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 60 x e^{5 x} + 20 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x) + e^{5 x} \cdot 12 + 3 \cos (3 x)$

Paso 7.4.4

Mueve $12$ a la izquierda de $e^{5 x}$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 60 x e^{5 x} + 20 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x) + 12 \cdot e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$

Paso 7.4.5

Suma $60 x e^{5 x}$ y $e^{5 x} (18 x)$ .

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Paso 7.4.5.1

Mueve $e^{5 x}$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 60 x e^{5 x} + 18 x e^{5 x} + 20 e^{5 x} + 12 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$

Paso 7.4.5.2

Suma $60 x e^{5 x}$ y $18 x e^{5 x}$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 78 x e^{5 x} + 20 e^{5 x} + 12 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$

Paso 7.4.6

Suma $20 e^{5 x}$ y $12 e^{5 x}$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 78 x e^{5 x} + 32 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$

Paso 7.5

Reordena los términos.

$45 e^{5 x} x^{2} + 78 e^{5 x} x + 32 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$

Paso 7.6

Reordena los factores en $45 e^{5 x} x^{2} + 78 e^{5 x} x + 32 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 78 x e^{5 x} + 32 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$