Cálculo Ejemplos

${(1 + \frac{a}{x})}^{b x}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 1.1

Reescribe ${(1 + \frac{a}{x})}^{b x}$ como $e^{\ln ({(1 + \frac{a}{x})}^{b x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(1 + \frac{a}{x})}^{b x})}]$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(1 + \frac{a}{x})}^{b x})$ ; para ello, mueve $b x$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = b x \ln (1 + \frac{a}{x})$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $b x \ln (1 + \frac{a}{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [b x \ln (1 + \frac{a}{x})]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [b x \ln (1 + \frac{a}{x})]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $b x \ln (1 + \frac{a}{x})$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \frac{d}{d x} [b x \ln (1 + \frac{a}{x})]$

Paso 3

Como $b$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $b x \ln (1 + \frac{a}{x})$ con respecto a $x$ es $b \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{a}{x})]$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{a}{x})])$

Paso 4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (1 + \frac{a}{x})$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (x \frac{d}{d x} [\ln (1 + \frac{a}{x})] + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1 + \frac{a}{x}$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $1 + \frac{a}{x}$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + \frac{a}{x}$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (x (\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{1 + \frac{a}{x}}$ y $x$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{x}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}] + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 6.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \frac{a}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{x}{1 + \frac{a}{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 6.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{x}{1 + \frac{a}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 6.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{x}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}] + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 6.5

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{a}{x}$ con respecto a $x$ es $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{x}{1 + \frac{a}{x}} (a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 6.6

Combina fracciones.

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Paso 6.6.1

Combina $a$ y $\frac{x}{1 + \frac{a}{x}}$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{a x}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 6.6.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{a x}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 6.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{a x}{1 + \frac{a}{x}} (- x^{- 2}) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 6.8

Combina $\frac{a x}{1 + \frac{a}{x}}$ y $x^{- 2}$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a x \cdot x^{- 2}}{1 + \frac{a}{x}} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 7

Multiplica $x$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1

Mueve $x^{- 2}$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a (x^{- 2} x)}{1 + \frac{a}{x}} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 7.2

Multiplica $x^{- 2}$ por $x$ .

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Paso 7.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a (x^{- 2} x^{1})}{1 + \frac{a}{x}} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a x^{- 2 + 1}}{1 + \frac{a}{x}} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 7.3

Suma $- 2$ y $1$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a x^{- 1}}{1 + \frac{a}{x}} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 8

Mueve $x^{- 1}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \cdot 1))$

Paso 10

Multiplica $\ln (1 + \frac{a}{x})$ por $1$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x} + \ln (1 + \frac{a}{x})))$

Paso 11

Para escribir $\ln (1 + \frac{a}{x})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(1 + \frac{a}{x}) x}{(1 + \frac{a}{x}) x}$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \cdot \frac{(1 + \frac{a}{x}) x}{(1 + \frac{a}{x}) x}))$

Paso 12

Combina $\ln (1 + \frac{a}{x})$ y $\frac{(1 + \frac{a}{x}) x}{(1 + \frac{a}{x}) x}$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x} + \frac{\ln (1 + \frac{a}{x}) ((1 + \frac{a}{x}) x)}{(1 + \frac{a}{x}) x}))$

Paso 13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \frac{- a + \ln (1 + \frac{a}{x}) ((1 + \frac{a}{x}) x)}{(1 + \frac{a}{x}) x})$

Paso 14

Combina $b$ y $\frac{- a + \ln (1 + \frac{a}{x}) ((1 + \frac{a}{x}) x)}{(1 + \frac{a}{x}) x}$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \frac{b (- a + \ln (1 + \frac{a}{x}) ((1 + \frac{a}{x}) x))}{(1 + \frac{a}{x}) x}$

Paso 15

Combina $e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})}$ y $\frac{b (- a + \ln (1 + \frac{a}{x}) ((1 + \frac{a}{x}) x))}{(1 + \frac{a}{x}) x}$ .

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- a + \ln (1 + \frac{a}{x}) ((1 + \frac{a}{x}) x)))}{(1 + \frac{a}{x}) x}$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- a + \ln (1 + \frac{a}{x}) (1 x + \frac{a}{x} x)))}{(1 + \frac{a}{x}) x}$

Paso 16.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- a) + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) (1 x + \frac{a}{x} x)))}{(1 + \frac{a}{x}) x}$

Paso 16.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- a) + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) (1 x + \frac{a}{x} x)))}{1 x + \frac{a}{x} x}$

Paso 16.4

Simplifica el numerador.

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Paso 16.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) (1 x + \frac{a}{x} x)))}{1 x + \frac{a}{x} x}$

Paso 16.4.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 16.4.1.2.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) (x + \frac{a}{x} x)))}{1 x + \frac{a}{x} x}$

Paso 16.4.1.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 16.4.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) (x + \frac{a}{x} x)))}{1 x + \frac{a}{x} x}$

Paso 16.4.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) (x + a)))}{1 x + \frac{a}{x} x}$

Paso 16.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) x + \ln (1 + \frac{a}{x}) a))}{1 x + \frac{a}{x} x}$

Paso 16.4.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a + b \ln (1 + \frac{a}{x}) x + b \ln (1 + \frac{a}{x}) a)}{1 x + \frac{a}{x} x}$

Paso 16.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \ln (1 + \frac{a}{x}) x) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \ln (1 + \frac{a}{x}) a)}{1 x + \frac{a}{x} x}$

Paso 16.4.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b a) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \ln (1 + \frac{a}{x}) x) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \ln (1 + \frac{a}{x}) a)}{1 x + \frac{a}{x} x}$

Paso 16.4.4

Reordena los factores en $- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b a) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \ln (1 + \frac{a}{x}) x) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \ln (1 + \frac{a}{x}) a)$ .

$\frac{- b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} + b x e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x}) + b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x})}{1 x + \frac{a}{x} x}$

Paso 16.5

Combina los términos.

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Paso 16.5.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{- b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} + b x e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x}) + b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x})}{x + \frac{a}{x} x}$

Paso 16.5.2

Combina $\frac{a}{x}$ y $x$ .

$\frac{- b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} + b x e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x}) + b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x})}{x + \frac{a x}{x}}$

Paso 16.5.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 16.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{- b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} + b x e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x}) + b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x})}{x + \frac{a x}{x}}$

Paso 16.5.3.2

Divide $a$ por $1$ .

$\frac{- b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} + b x e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x}) + b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x})}{x + a}$

Paso 16.6

Reordena los términos.

$\frac{- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} b x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b \ln (1 + \frac{a}{x})}{a + x}$

Paso 16.7

Simplifica el numerador.

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Paso 16.7.1

Factoriza $b$ de $- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} b x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b \ln (1 + \frac{a}{x})$ .

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Paso 16.7.1.1

Factoriza $b$ de $- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b$ .

$\frac{b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} b x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b \ln (1 + \frac{a}{x})}{a + x}$

Paso 16.7.1.2

Factoriza $b$ de $e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} b x \ln (1 + \frac{a}{x})$ .

$\frac{b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a) + b (e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x})) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b \ln (1 + \frac{a}{x})}{a + x}$

Paso 16.7.1.3

Factoriza $b$ de $e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b \ln (1 + \frac{a}{x})$ .

$\frac{b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a) + b (e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x})) + b (e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

Paso 16.7.1.4

Factoriza $b$ de $b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a) + b (e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x}))$ .

$\frac{b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x})) + b (e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

Paso 16.7.1.5

Factoriza $b$ de $b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x})) + b (e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))$ .

$\frac{b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

Paso 16.7.2

Factoriza $e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})}$ de $- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x})$ .

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Paso 16.7.2.1

Reordena la expresión.

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Paso 16.7.2.1.1

Reordena $1$ y $\frac{a}{x}$ .

$\frac{b (- e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} a + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

Paso 16.7.2.1.2

Mueve $e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)}$ .

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

Paso 16.7.2.1.3

Reordena $1$ y $\frac{a}{x}$ .

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

Paso 16.7.2.1.4

Reordena $1$ y $\frac{a}{x}$ .

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} x \ln (\frac{a}{x} + 1) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

Paso 16.7.2.1.5

Reordena $e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)}$ y $x$ .

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + x e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

Paso 16.7.2.1.6

Reordena $1$ y $\frac{a}{x}$ .

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + x e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

Paso 16.7.2.1.7

Reordena $1$ y $\frac{a}{x}$ .

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + x e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} a \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

Paso 16.7.2.1.8

Reordena $e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)}$ y $a$ .

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + x e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1) + a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

Paso 16.7.2.2

Factoriza $e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})}$ de $- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)}$ .

$\frac{b (e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a) + x e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1) + a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

Paso 16.7.2.3

Factoriza $e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})}$ de $x e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1)$ .

$\frac{b (e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (x \ln (\frac{a}{x} + 1)) + a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

Paso 16.7.2.4

Factoriza $e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})}$ de $a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1)$ .

$\frac{b (e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (x \ln (\frac{a}{x} + 1)) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (a \ln (\frac{a}{x} + 1)))}{a + x}$

Paso 16.7.2.5

Factoriza $e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)}$ de $e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (x \ln (\frac{a}{x} + 1))$ .

$\frac{b (e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + 1)) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (a \ln (\frac{a}{x} + 1)))}{a + x}$

Paso 16.7.2.6

Factoriza $e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)}$ de $e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + 1)) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (a \ln (\frac{a}{x} + 1))$ .

$\frac{b (e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + 1) + a \ln (\frac{a}{x} + 1)))}{a + x}$

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + 1) + a \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

Paso 16.7.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a}{x} + \frac{x}{x})} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + 1) + a \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

Paso 16.7.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + 1) + a \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

Paso 16.7.5

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.7.5.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + \frac{x}{x}) + a \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

Paso 16.7.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- a + x \ln (\frac{a + x}{x}) + a \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

Paso 16.7.5.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- a + x \ln (\frac{a + x}{x}) + a \ln (\frac{a}{x} + \frac{x}{x}))}{a + x}$

Paso 16.7.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- a + x \ln (\frac{a + x}{x}) + a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$

Paso 16.8

Factoriza $- 1$ de $- a$ .

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- (a) + x \ln (\frac{a + x}{x}) + a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$

Paso 16.9

Factoriza $- 1$ de $x \ln (\frac{a + x}{x})$ .

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- (a) - (- x \ln (\frac{a + x}{x})) + a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$

Paso 16.10

Factoriza $- 1$ de $- (a) - (- x \ln (\frac{a + x}{x}))$ .

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- (a - x \ln (\frac{a + x}{x})) + a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$

Paso 16.11

Factoriza $- 1$ de $a \ln (\frac{a + x}{x})$ .

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- (a - x \ln (\frac{a + x}{x})) - (- a \ln (\frac{a + x}{x})))}{a + x}$

Paso 16.12

Factoriza $- 1$ de $- (a - x \ln (\frac{a + x}{x})) - (- a \ln (\frac{a + x}{x}))$ .

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x})))}{a + x}$

Paso 16.13

Reescribe $- (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x}))$ como $- 1 (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x}))$ .

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- 1 (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x})))}{a + x}$

Paso 16.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})}) (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$

Paso 16.15

Reordena los factores en $- \frac{(b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})}) (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$ .

$- \frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$