Cálculo Ejemplos

$\cot (arcsec (\frac{u}{2}))$

Paso 1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, \sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $arcsec (\frac{u}{2})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, \sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1^{2}})$ . Por lo tanto, $\cot (arcsec (\frac{u}{2}))$ es $\frac{1}{\sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1}}$ .

$\frac{d}{d u} [\frac{1}{\sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1}}]$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1}$ como ${({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\frac{1}{{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.3

Reescribe $\frac{1}{{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d u} [{({({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Paso 1.4

Multiplica los exponentes en ${({({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d u} [{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Paso 1.4.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{d}{d u} [{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Paso 1.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{d u} [{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ es $f' (g (u)) g' (u)$ donde $f (u) = u^{- \frac{1}{2}}$ y $g (u) = {(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ .

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Paso 7

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Paso 7.2

Combina fracciones.

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Paso 7.2.1

Combina ${({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Paso 7.2.2

Mueve ${({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Paso 7.3

Según la regla de la suma, la derivada de ${(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ con respecto a $u$ es $\frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2}] + \frac{d}{d u} [- 1]$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Paso 8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ es $f' (g (u)) g' (u)$ donde $f (u) = u^{2}$ y $g (u) = \frac{u}{2}$ .

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Paso 8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\frac{u}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Paso 8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Paso 8.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\frac{u}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (2 \frac{u}{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Paso 9

Diferencia.

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Paso 9.1

Combina $2$ y $\frac{u}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{2 u}{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{2 u}{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Paso 9.2.2

Divide $u$ por $1$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (u \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Paso 9.3

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $\frac{u}{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d u} [u]$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (u (\frac{1}{2} \frac{d}{d u} [u]) + \frac{d}{d u} [- 1])$

Paso 9.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $u$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Paso 9.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u} [- 1])$

Paso 9.6

Multiplica $\frac{u}{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} + \frac{d}{d u} [- 1])$

Paso 9.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $u$ es $0$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} + 0)$

Paso 9.8

Combina fracciones.

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Paso 9.8.1

Suma $\frac{u}{2}$ y $0$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{u}{2}$

Paso 9.8.2

Multiplica $\frac{u}{2}$ por $\frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{u}{2 (2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Paso 9.8.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{u}{4 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Aplica la regla del producto a $\frac{u}{2}$ .

$- \frac{u}{4 {(\frac{u^{2}}{2^{2}} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{u}{4 {(\frac{u^{2}}{4} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$