Cálculo Ejemplos

$\frac{\sin (t)}{2 \sin (2 t)}$

Paso 1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{\sin (t)}{2 \sin (2 t)}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (t)}{\sin (2 t)}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (t)}{\sin (2 t)}]$

Paso 2

Reescribe $\frac{\sin (t)}{\sin (2 t)}$ como un producto.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\sin (t) \frac{1}{\sin (2 t)}]$

Paso 3

Escribe $\sin (t)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (t)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)}]$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Divide $\sin (t)$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\sin (t) \frac{1}{\sin (2 t)}]$

Paso 4.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (2 t)}$ a $\csc (2 t)$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\sin (t) \csc (2 t)]$

Paso 5

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = \sin (t)$ y $g (t) = \csc (2 t)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) \frac{d}{d t} [\csc (2 t)] + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Paso 6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \csc (t)$ y $g (t) = 2 t$ .

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Paso 6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d t} [2 t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Paso 6.2

La derivada de $\csc (u)$ con respecto a $u$ es $- \csc (u) \cot (u)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d t} [2 t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- \csc (2 t) \cot (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Paso 7

Diferencia.

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Paso 7.1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- \csc (2 t) \cot (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t) \frac{d}{d t} [t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Paso 7.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t) \cdot 1) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Paso 7.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t)) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Paso 8

La derivada de $\sin (t)$ con respecto a $t$ es $\cos (t)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t)) + \csc (2 t) \cos (t))$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t))) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Paso 9.2

Combina los términos.

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Paso 9.2.1

Combina $\sin (t)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (t)}{2} (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t)) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Paso 9.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{\sin (t)}{2}$ .

$\frac{- 2 \sin (t)}{2} (\csc (2 t) \cot (2 t)) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Paso 9.2.3

Combina $\csc (2 t)$ y $\frac{- 2 \sin (t)}{2}$ .

$\frac{\csc (2 t) (- 2 \sin (t))}{2} \cot (2 t) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Paso 9.2.4

Combina $\frac{\csc (2 t) (- 2 \sin (t))}{2}$ y $\cot (2 t)$ .

$\frac{\csc (2 t) (- 2 \sin (t)) \cot (2 t)}{2} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Paso 9.2.5

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 9.2.5.1

Factoriza $2$ de $\csc (2 t) (- 2 \sin (t)) \cot (2 t)$ .

$\frac{2 (\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t))}{2} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Paso 9.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t))}{2 (1)} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Paso 9.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t))}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Paso 9.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t)}{1} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Paso 9.2.5.2.4

Divide $\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t)$ por $1$ .

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Paso 9.2.6

Combina $\csc (2 t)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t) + \frac{\csc (2 t)}{2} \cos (t)$

Paso 9.2.7

Combina $\frac{\csc (2 t)}{2}$ y $\cos (t)$ .

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Paso 9.3

Reordena los términos.

$- \cot (2 t) \csc (2 t) \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Paso 9.4

Simplifica cada término.

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Paso 9.4.1

Reescribe $\cot (2 t)$ en términos de senos y cosenos.

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)} \csc (2 t) \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Paso 9.4.2

Reescribe $\csc (2 t)$ en términos de senos y cosenos.

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Paso 9.4.3

Multiplica $- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)}$ .

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Paso 9.4.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sin (2 t)}$ por $\frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)}$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t) \sin (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Paso 9.4.3.2

Eleva $\sin (2 t)$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin^{1} (2 t) \sin (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Paso 9.4.3.3

Eleva $\sin (2 t)$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin^{1} (2 t) \sin^{1} (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Paso 9.4.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{\cos (2 t)}{{\sin (2 t)}^{1 + 1}} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Paso 9.4.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin^{2} (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Paso 9.4.4

Combina $\sin (t)$ y $\frac{\cos (2 t)}{\sin^{2} (2 t)}$ .

$- \frac{\sin (t) \cos (2 t)}{\sin^{2} (2 t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Paso 9.4.5

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{\sin^{2} (2 t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Paso 9.4.6

Simplifica el denominador.

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Paso 9.4.6.1

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{{(2 \sin (t) \cos (t))}^{2}} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Paso 9.4.6.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 9.4.6.2.1

Aplica la regla del producto a $2 \sin (t) \cos (t)$ .

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{{(2 \sin (t))}^{2} \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Paso 9.4.6.2.2

Aplica la regla del producto a $2 \sin (t)$ .

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{2^{2} \sin^{2} (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Paso 9.4.6.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{4 \sin^{2} (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Paso 9.4.7

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.4.7.1

Factoriza $\sin (t)$ de $4 \sin^{2} (t) \cos^{2} (t)$ .

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{\sin (t) (4 \sin (t) \cos^{2} (t))} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Paso 9.4.7.2

Cancela el factor común.

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{\sin (t) (4 \sin (t) \cos^{2} (t))} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Paso 9.4.7.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{2 \cos^{2} (t) - 1}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Paso 9.4.8

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Paso 9.4.9

Reescribe $\csc (2 t)$ en términos de senos y cosenos.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{1}{\sin (2 t)} \cos (t)}{2}$

Paso 9.4.10

Combina $\frac{1}{\sin (2 t)}$ y $\cos (t)$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{\cos (t)}{\sin (2 t)}}{2}$

Paso 9.4.11

Simplifica el numerador.

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Paso 9.4.11.1

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{\cos (t)}{2 \sin (t) \cos (t)}}{2}$

Paso 9.4.11.2

Cancela el factor común de $\cos (t)$ .

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Paso 9.4.11.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{\cos (t)}{2 \sin (t) \cos (t)}}{2}$

Paso 9.4.11.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{1}{2 \sin (t)}}{2}$

Paso 9.4.12

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{1}{2 \sin (t)} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 9.4.13

Multiplica $\frac{1}{2 \sin (t)} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 9.4.13.1

Multiplica $\frac{1}{2 \sin (t)}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{1}{2 \sin (t) \cdot 2}$

Paso 9.4.13.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Paso 9.5

Simplifica cada término.

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Paso 9.5.1

Separa las fracciones.

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} \cdot \frac{\cos (2 t)}{\sin (t)}) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Paso 9.5.2

Reescribe $\frac{\cos (2 t)}{\sin (t)}$ como un producto.

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \frac{1}{\sin (t)})) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Paso 9.5.3

Escribe $\cos (2 t)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\frac{\cos (2 t)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (t)})) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Paso 9.5.4

Simplifica.

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Paso 9.5.4.1

Divide $\cos (2 t)$ por $1$ .

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \frac{1}{\sin (t)})) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Paso 9.5.4.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (t)}$ a $\csc (t)$ .

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Paso 9.5.5

Multiplica por $1$ .

$- (\frac{1}{4 (\cos^{2} (t) \cdot 1)} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Paso 9.5.6

Separa las fracciones.

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Paso 9.5.7

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ a $\sec^{2} (t)$ .

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \sec^{2} (t) (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Paso 9.5.8

Multiplica $4$ por $1$ .

$- (\frac{1}{4} \sec^{2} (t) (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Paso 9.5.9

Combina $\frac{1}{4}$ y $\sec^{2} (t)$ .

$- (\frac{\sec^{2} (t)}{4} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Paso 9.5.10

Multiplica $\frac{\sec^{2} (t)}{4} (\cos (2 t) \csc (t))$ .

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Paso 9.5.10.1

Combina $\cos (2 t)$ y $\frac{\sec^{2} (t)}{4}$ .

$- (\frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t)}{4} \csc (t)) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Paso 9.5.10.2

Combina $\frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t)}{4}$ y $\csc (t)$ .

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Paso 9.5.11

Separa las fracciones.

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sin (t)}$

Paso 9.5.12

Convierte de $\frac{1}{\sin (t)}$ a $\csc (t)$ .

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{1}{4} \csc (t)$

Paso 9.5.13

Combina $\frac{1}{4}$ y $\csc (t)$ .

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{\csc (t)}{4}$