Cálculo Ejemplos

$9 \sqrt{t} e^{t} + t$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 \sqrt{t} e^{t} + t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [9 \sqrt{t} e^{t}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d}{d t} [9 \sqrt{t} e^{t}] + \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d t} [9 \sqrt{t} e^{t}]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [9 t^{\frac{1}{2}} e^{t}] + \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.2

Como $9$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $9 t^{\frac{1}{2}} e^{t}$ con respecto a $t$ es $9 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}} e^{t}]$ .

$9 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}} e^{t}] + \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ y $g (t) = e^{t}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [e^{t}] + e^{t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ es $a^{t} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.11

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.12

Combina $e^{t}$ y $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + \frac{e^{t} t^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.13

Mueve $t^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [t]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + 1$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t}) + 9 \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1$

Paso 4.2

Combina $9$ y $\frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$9 t^{\frac{1}{2}} e^{t} + \frac{9 e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$9 e^{t} t^{\frac{1}{2}} + \frac{9 e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1$